Bài tập 23, § 1

Cho $X$ và $Y$ là các không gian tôpô. Ta nói rằng một phép đồng luân $\sigma : X\times$ $\mathbf{I}\rightarrow Y$ là dừng nếu tồn tại một số thực $\delta >0$ sao cho $\sigma (x, t) =\sigma (x,0)$ với mọi $x\in X$ và mọi $t\in [0, \delta ]$. Cho A là một không gian con đóng của X; ta ký hiệu $j$ là đơn ánh chính tắc của A vào X. Ta nói rằng cặp $(X,A)$ có tính chất mở rộng các phép đồng luân dừng nếu, với mọi không gian tôpô Y, mọi ánh xạ liên tục $f: X\rightarrow Y$ và mọi phép đồng luân dừng $\sigma : A\times \mathbf{I}\rightarrow Y$ có gốc bằng $f|A$, tồn tại một phép đồng luân $\widetilde{\sigma}: X\times \mathbf{I}\rightarrow Y$ có gốc $f$ mở rộng $\sigma$.

a) Chứng minh rằng các tính chất sau là tương đương:

(i) Cặp $(X,A)$ có tính chất mở rộng các phép đồng luân dừng ;

(ii) Các cặp $(X,A)$ và (Cyl($j$)$, \alpha_j(A\times \{0\})$ là đồng luân ;

(iii) Tồn tại một ánh xạ liên tục $\varphi : X\rightarrow \mathbf{I}$ sao cho $\varphi (a) = 0$ với mọi $a\in A$ và một phép đồng luân $\sigma : X\times \mathbf{I}\rightarrow X$ sao cho $\sigma (x,0) =x$ với $x\in X$, $\sigma (a, t) =a$ với $(a, t)\in A\times \mathbf{I}$, và $\sigma (x,1)\in A$ nếu $\varphi (x)<1$.

(iv) Tồn tại một ánh xạ liên tục $\varphi : X\rightarrow \mathbf{I}$, một không gian con V của X và một phép đồng luân $\sigma : V\times \mathbf{I}\rightarrow X$ sao cho $\varphi (x) = 1$ nếu $x\notin V,\varphi (a) = 0$ với $a\in A,\sigma (x,0) =x$ với $x\in V,\sigma (a, t) =a$ với $(a, t)\in A\times \mathbf{I},\sigma (x,1)\in A$ nếu $\varphi (x)<1$.

b) Giả sử rằng cặp $(X,A)$ có tính chất mở rộng các phép đồng luân dừng và tồn tại một hàm liên tục $u: X\rightarrow \mathbf{I}$ sao cho $\overset{-1}{u}(0) = A$. Chứng minh rằng cặp $(X,A)$ có tính chất mở rộng các phép đồng luân.