Exercice 23, § 1

Soient X et Y des espaces topologiques. On dit qu’une homotopie $\sigma : X\times$ $\mathbf{I}\rightarrow Y$ est stationnaire s’il existe un nombre réel $\delta >0$ tel que $\sigma (x, t) =\sigma (x,0)$ pour tout $x\in X$ et tout $t\in [0, \delta ]$. Soit A un sous-espace fermé de X ; on note $j$ l’injection canonique de A dans X. On dit que le couple $(X,A)$ possède la propriété d’extension des homotopies stationnaires si, pour tout espace topologique Y, toute application continue $f: X\rightarrow Y$ et toute homotopie stationnaire $\sigma : A\times \mathbf{I}\rightarrow Y$ dont l’origine est égale à $f|A$, il existe une homotopie $\widetilde{\sigma}: X\times \mathbf{I}\rightarrow Y$ d’origine $f$ qui étend $\sigma$.

a) Démontrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :

(i) Le couple $(X,A)$ a la propriété d’extension des homotopies stationnaires ;

(ii) Les couples $(X,A)$ et (Cyl($j$)$, \alpha_j(A\times \{0\})$ sont homéotopes ;

(iii) Il existe une application continue $\varphi : X\rightarrow \mathbf{I}$ telle que $\varphi (a) = 0$ pour tout $a\in A$ et une homotopie $\sigma : X\times \mathbf{I}\rightarrow X$ telle que $\sigma (x,0) =x$ pour $x\in X$, $\sigma (a, t) =a$ pour $(a, t)\in A\times \mathbf{I}$, et $\sigma (x,1)\in A$ si $\varphi (x)<1$.

(iv) Il existe une application continue $\varphi : X\rightarrow \mathbf{I}$, un sous-espace V de X et une homotopie $\sigma : V\times \mathbf{I}\rightarrow X$ tels que $\varphi (x) = 1$ si $x\notin V,\varphi (a) = 0$ pour $a\in A,\sigma (x,0) =x$ pour $x\in V,\sigma (a, t) =a$ pour $(a, t)\in A\times \mathbf{I},\sigma (x,1)\in A$ si $\varphi (x)<1$.

b) On suppose que le couple $(X,A)$ possède la propriété d’extension des homotopies stationnaires et qu’il existe une fonction continue $u: X\rightarrow \mathbf{I}$ telle que $\overset{-1}{u}(0) = A$. Démontrer que le le couple $(X,A)$ possède la propriété d’extension des homotopies.