Bài tập 25, § 1

(a) Cho $X$ và $Y$ là các không gian tôpô, cho $A$ là một không gian con đóng của $X$ và cho $B$ là một không gian con đóng của $Y$. Cho $f: X\rightarrow Y$ là một ánh xạ liên tục; giả thiết rằng $f$ cảm sinh, khi chuyển qua các không gian con, một đồng phôi từ $A$ lên $B$. Nếu $f$ có một nghịch đảo trái tới đồng luân và nếu $(Y,B)$ có tính chất mở rộng các đồng luân dừng (bài tập 23), thì điều tương tự cũng đúng với $(X,A)$.

(b) Nếu các cặp $(X,A)$ và $(Y,B)$ là đồng luân, thì $(X,A)$ có tính chất mở rộng các đồng luân dừng khi và chỉ khi điều tương tự cũng đúng với $(Y,B)$.

(c) Cho C là tập hợp các điểm của mặt phẳng có dạng $(t/n, t)$, với $t\in \mathbf{I}$ và $n\in \mathbf{N}^*$, cho X là bao đóng của nó và cho $A =\{0\} \times \mathbf{I}$. Chứng minh rằng cặp $(X,A)$ không có tính chất mở rộng các đồng luân dừng.