Exercice 25, § 1

a) Soient X et Y des espaces topologiques, soit A un sous-espace fermé de X et soit B un sous-espace fermé de Y. Soit $f: X\rightarrow Y$ une application continue ; on suppose que $f$ induit, par passage aux sous-espaces, un homéo-morphisme de A sur B. Si $f$ possède un inverse à gauche à homéotopie près et si $(Y,B)$ possède la propriété d’extension des homotopies stationnaires (exerc. 23), il en est de même de $(X,A)$.

b) Si les couples $(X,A)$ et $(Y,B)$ sont homéotopes, alors $(X,A)$ a la propriété d’extension des homotopies stationnaires si et seulement s’il en est de même de $(Y,B)$.

c) Soit C l’ensemble des points du plan de la forme $(t/n, t)$, pour $t\in \mathbf{I}$ et $n\in \mathbf{N}^*$, soit X son adhérence et soit $A =\{0\} \times \mathbf{I}$. Démontrer que le couple $(X,A)$ ne possède pas la propriété d’extension des homotopies stationnaires.