Bài tập 27, § 1

Cho $X$ là một không gian tôpô và $A$ là một không gian con (không nhất thiết đóng) của $X$; ký hiệu bởi $C$ không gian con $(X\times \{0\})\cup (A\times \mathbf{I})$ của $X\times \mathbf{I}$. Giả sử rằng $C$ là một co rút của $X\times \mathbf{I}$. Gọi $U$ là một tập con của $C$ sao cho $U\cap (X\times \{0\})$ và $U\cap (A\times \mathbf{I})$ lần lượt là mở trong $X\times \{0\}$ và $A\times \mathbf{I}$. a) Gọi $V_0$ là tập hợp các $x\in X$ sao cho $(x,0)\in U$; với $n\geqslant 1$, gọi $V_n$ là hợp của các tập con mở W của X sao cho $(W\cap A)\times [0,1/n[$ được chứa trong U.

Bài tập chứng minh rằng $A\cap V_0=\bigcup_{n\geqslant 1}A\cap V_n$; đồng thời chứng minh rằng mọi tập con mở W của X sao cho $W\cap A\subset V_n$ đều được chứa trong $V_n$.

b) Bài tập chứng minh rằng $V\subset \bigcup_{n\geqslant 1}V_n$.

c) Bài tập chứng minh rằng U mở trong C.

d) Bài tập chứng minh rằng cặp $(X,A)$ có tính chất mở rộng đồng luân.