Exercice 27, § 1

Soit X un espace topologique et soit A un sous-espace (non nécessairement fermé) de X ; on note C le sous-espace $(X\times \{0\})\cup (A\times \mathbf{I})$ de $X\times \mathbf{I}$. On suppose que C est un rétracte de $X\times \mathbf{I}$. Soit U une partie de C telle que $U\cap (X\times \{0\})$ et $U\cap (A\times \mathbf{I})$ soient ouverts dans $X\times \{0\}$ et $A\times \mathbf{I}$ respectivement. a) Soit $V_0$ l’ensemble des $x\in X$ tels que $(x,0)\in U$ ; pour $n\geqslant 1$, soit $V_n$ la réunion des ouverts W de X tels que $(W\cap A)\times [0,1/n[$ soit contenu dans U.

Démontrer que $A\cap V_0=\bigcup_{n\geqslant 1}A\cap V_n$; prouver aussi que tout ouvert W de X tel que $W\cap A\subset V_n$ est contenu dans $V_n$.

b) Démontrer que $V\subset \bigcup_{n\geqslant 1}V_n$.

c) Démontrer que U est ouvert dans C.

d) Démontrer que le couple $(X,A)$ possède la propriété d’extension des homotopies.