Bài tập 29, § 1

Cho $B$ là một không gian tôpô. Một phủ $(V_i)_{i\in I}$ của B được gọi là hữu hạn nếu tồn tại một phân hoạch đơn vị liên tục $(g_j)_{j\in J}$ trên B, hữu hạn địa phương, sao cho với mọi $j\in J,\overset{-1}{g_{j}}(]0,1])$ được chứa trong một trong các $V_i$.

a) Chứng minh rằng B là paracompact khi và chỉ khi mọi phủ mở của B là hữu hạn.

b) Chứng minh rằng B là chuẩn tắc khi và chỉ khi mọi phủ mở hữu hạn địa phương của B là hữu hạn.

c) Cho $(V_i)$ là một phủ hữu hạn của B, cho $B'$ là một không gian tôpô và cho $f: B'\rightarrow B$ là một ánh xạ liên tục. Chứng minh rằng phủ $(\overset{-1}{f}(V_i))$ của $B'$ là hữu hạn.