Exercice 29, § 1

Soit B un espace topologique. On dit qu’un recouvrement $(V_i)_{i\in I}$ de B est numérique s’il existe une partition continue de l’unité $(g_j)_{j\in J}$ sur B, localement finie, telle que pour tout $j\in J,\overset{-1}{g_{j}}(]0,1])$ est contenu dans l’un des $V_i$.

a) Démontrer que B est paracompact si et seulement si tout recouvrement ouvert de B est numérique.

b) Démontrer que B est normal si et seulement si tout recouvrement ouvert localement fini de B est numérique.

c) Soit $(V_i)$ un recouvrement numérique de B, soit $B'$ un espace topologique et soit $f: B'\rightarrow B$ une application continue. Démontrer que le recouvrement $(\overset{-1}{f}(V_i))$ de $B'$ est numérique.