Bài tập 31, § 1

Cho B là một không gian tôpô. Cho A và V là các không gian con của B; ta nói rằng V là một quầng của A nếu tồn tại một ánh xạ liên tục $\varphi : B\rightarrow \mathbf{I}$ bằng 1 tại mọi điểm của A và bằng 0 tại mọi điểm của $\complement V$. Ta nói rằng một B-không gian $(E, p)$ có tính chất mở rộng các tiết diện nếu, với mọi không gian con A của B, mọi quầng V của A và mọi tiết diện $s$ của $E_V$, tồn tại một tiết diện $s'$ của E sao cho $s'|A =s|A$. a) Cho $(E, p)$ và $(E', p')$ là các B-không gian; giả sử rằng tồn tại các cấu xạ của B-không gian, $f: E\rightarrow E'$ và $g: E'\rightarrow$ E, và một đồng luân $\sigma : E\times \mathbf{I}\rightarrow E$ có gốc là Id$_E$ và có số hạng là $g\circ f$ sao cho $p(\sigma (x, t)) =p(x)$ với mọi $(x, t)\in E\times \mathbf{I}$. Nếu B-không gian $E'$ có tính chất mở rộng các tiết diện thì B-không gian E cũng có tính chất đó.

b) Cho E là một B-không gian và cho A là một không gian con của B, là một retract của B. Giả sử rằng A-không gian cảm sinh $E_A$ có tính chất mở rộng các tiết diện; hãy chứng minh rằng B-không gian E cũng có tính chất đó.

c) Cho E là một B-không gian có tính chất mở rộng các tiết diện. Cho

$f: B\rightarrow \mathbf{I}$ là một ánh xạ liên tục và cho $V =\overset{-1}{f}(]0,1])$. Hãy chứng minh rằng V-không gian $E_V$ có tính chất mở rộng các tiết diện. (Cho A là một không gian con của V và cho W là một quầng của A trong V; hãy xây dựng các dãy $(A_n)$ và $(V_n)$ gồm các không gian con của B thỏa mãn các tính chất sau: với mọi $n,A_n$ được chứa trong W, $V_n$ là một quầng của $A_n$, và giao của các $A_n$ bằng A.)