Exercice 31, § 1

Soit B un espace topologique. Soient A et V des sous-espaces de B; on dit que V est un halo de A s’il existe une application continue $\varphi : B\rightarrow \mathbf{I}$ qui est égale à 1 en tout point A et à 0 en tout point de $\complement V$. On dit qu’un B-espace $(E, p)$ possède la propriété d’extension des sections si, pour tout sous-espace A de B, tout halo V de A et toute section $s$ de $E_V$, il existe une section $s'$ de E telle que $s'|A =s|A$. a) Soient $(E, p)$ et $(E', p')$ des B-espaces ; on suppose qu’il existe des morphismes de B-espaces, $f: E\rightarrow E'$ et $g: E'\rightarrow$ E, et une homotopie $\sigma : E\times \mathbf{I}\rightarrow E$ d’origine Id$_E$ et de terme $g\circ f$ telle que $p(\sigma (x, t)) =p(x)$ pour tout $(x, t)\in E\times \mathbf{I}$. Si le B-espace $E'$ possède la propriété d’extension des sections, il en est de même du B-espace E.

b) Soit E un B-espace et soit A un sous-espace de B qui est un rétracte de B. On suppose que le A-espace induit $E_A$ possède la propriété d’extension des sections ; démontrer qu’il en est de même du B-espace E.

c) Soit E un B-espace qui possède la propriété d’extension des sections. Soit

$f: B\rightarrow \mathbf{I}$ une application continue et soit $V =\overset{-1}{f}(]0,1])$. Démontrer que le V-espace $E_V$ possède la propriété d’extension des sections. (Soit A un sous-espace de V et soit W un halo de A dans V ; construire des suites $(A_n)$ et $(V_n)$ de sous-espaces de B vérifiant les propriétés suivantes : pour tout $n,A_n$ est contenu dans W, $V_n$ est un halo de $A_n$, et l’intersection des $A_n$ est égale à A.)