Bài tập 32, § 1

Cho B là một không gian tôpô và $(E, p)$ là một B-không gian. Cho $(V_i)_{i\in I}$ là một phủ đánh số của B sao cho, với mọi $i\in I$, $V_i$-không gian $E_{V_i}$ có tính chất mở rộng các tiết diện.

a) Giả sử rằng tồn tại một phân hoạch đơn vị liên tục $(f_i)$ trên B, hữu hạn địa phương, sao cho $V_i=\overset{-1}{f_{i}}(]0,1])$ với mọi $i$. Cho $g: B\rightarrow [0,1]$ là một ánh xạ liên tục. Đặt $A =\overset{-1}{g}(1)$ và $W =\overset{-1}{g}(]0,1])$ ; gọi $s$ là một tiết diện của E trên W. Chứng minh rằng tồn tại một tiết diện của E trùng với $s$ trên A. (Xét một phần tử cực đại của tập hợp các cặp $(J, t)$, trong đó J là một tập con của I và $t$ là một tiết diện của E trên $W\cup \bigcup_{i\in J}V_i$ trùng với $s$ trên A, được trang bị quan hệ thứ tự cho bởi $(J, t)\prec (J', t')$ nếu $J\subset J'$ và $t'$ mở rộng $t.$)

b) Chứng minh rằng B-không gian E có tính chất mở rộng các tiết diện.