Exercice 32, § 1

Soit B un espace topologique et soit $(E, p)$ un B-espace. Soit $(V_i)_{i\in I}$ un recouvrement numérique de B tel que, pour tout $i\in I$, le $V_i$-espace $E_{V_i}$ possède la propriété d’extension des sections.

a) On suppose qu’il existe une partition continue de l’unité $(f_i)$ sur B, localement finie, telle que $V_i=\overset{-1}{f_{i}}(]0,1])$ pour tout $i$. Soit $g: B\rightarrow [0,1]$ une application continue. On pose $A =\overset{-1}{g}(1)$ et $W =\overset{-1}{g}(]0,1])$ ; soit $s$ une section de E sur W. Démontrer qu’il existe une section de E qui coïncide avec $s$ sur A. (Considérer un élément maximal de l’ensemble des couples $(J, t)$, où J est une partie de I et $t$ est une section de E sur $W\cup \bigcup_{i\in J}V_i$ qui coïncide avec $s$ sur A, muni de la relation d’ordre donnée par $(J, t)\prec (J', t')$ si $J\subset J'$ et $t'$ prolonge $t.$)

b) Démontrer que le B-espace E possède la propriété d’extension des sections.