Bài tập 6, § 1

Cho $X$ là một không gian tôpô mêtric kiểu đếm được. Ta nói rằng $X$ là một retract tuyệt đối [^1] nếu, với mọi không gian tôpô mêtric kiểu đếm được $Y$ và mọi tập con đóng $B$ của $Y$, mọi ánh xạ liên tục $f: B\rightarrow X$ đều mở rộng thành một ánh xạ liên tục từ $Y$ vào $X$.

a) Cho $X$ là một không gian tôpô mêtric kiểu đếm được. Để $X$ là một retract tuyệt đối, điều kiện cần và đủ là, với mọi không gian mêtric kiểu đếm được $Y$ và mọi ánh xạ liên tục, đơn ánh và đóng $f$ từ $X$ vào $Y$, tồn tại một ánh xạ liên tục $g: Y\rightarrow X$ sao cho $g\circ f=$ Id$_X$. b) Bài tập chứng minh rằng các không gian $\mathbf{I}$ và $\mathbf{R}$ là các retract tuyệt đối.

c) Bài tập chứng minh rằng không gian tích của một họ đếm được các retract tuyệt đối là một retract tuyệt đối.

d) Cho $X$ là một retract tuyệt đối, cho $A$ là một không gian con của $X$ và là một retract của $X$. Bài tập chứng minh rằng $A$ là một retract tuyệt đối.

[^1]: Bài tập này và các bài tập tiếp theo đây tái hiện các bài báo của K. Borsuk, « Sur les rétractes », Fund. Math. 17 (1931), p. 152–170 ; « Über eine Klasse von lokal zusammenhängenden Räumen », Fund. Math. 19 (1932), p. 220–242 ; O. Hanner, « Some theorems on absolute neighborhood retracts », Ark. Mat. 1, (1951), p. 389–408.