Exercice 6, § 1

Soit X un espace topologique métrisable de type dénombrable. On dit que X est un rétracte absolu [^1] si pour tout espace topologique métrisable de type dénombrable Y et toute partie fermée B de Y, toute application continue $f: B\rightarrow X$ s’étend en une application continue de Y dans X.

a) Soit X un espace topologique métrisable de type dénombrable. Pour que X soit un rétracte absolu, il faut et il suffit que, pour tout espace métrisable de type dénombrable Y et toute application continue, injective et fermée $f$ de X dans Y, il existe une application continue $g: Y\rightarrow X$ telle que $g\circ f=$ Id$_X$. b) Démontrer que les espaces $\mathbf{I}$ et $\mathbf{R}$ sont des rétractes absolus.

c) Démontrer que l’espace produit d’une famille dénombrable de rétractes absolus est un rétracte absolu.

d) Soit X un rétracte absolu, soit A un sous-espace de X qui est un rétracte de X. Démontrer que A est un rétracte absolu.

[^1]: Cet exercice et les suivants reprennent les articles de K. Borsuk, « Sur les rétractes », Fund. Math. 17 (1931), p. 152–170 ; « Über eine Klasse von lokal zusammenhängenden Räumen », Fund. Math. 19 (1932), p. 220–242 ; O. Hanner, « Some theorems on absolute neighborhood retracts », Ark. Mat. 1, (1951), p. 389–408.