Bài tập 7, § 1

Cho X là một không gian tôpô kiểu đếm được mà mêtric hóa được. Ta nói rằng X là một retract lân cận tuyệt đối nếu, với mọi không gian tôpô kiểu đếm được mà mêtric hóa được Y và mọi tập con đóng B của Y, mọi ánh xạ liên tục $f: B\rightarrow X$ đều mở rộng được thành một ánh xạ liên tục của một lân cận của B vào X.

a) Cho X là một không gian tôpô kiểu đếm được mà mêtric hóa được. Để X là một retract lân cận tuyệt đối, điều kiện cần và đủ là, với mọi không gian mêtric kiểu đếm được Y và mọi ánh xạ liên tục, đơn ánh và đóng $f$ của X vào Y, tồn tại một lân cận U của $f(X)$ và một ánh xạ liên tục $g: U\rightarrow X$ sao cho $g\circ f=$ Id$_X$.

b) Cho X là một retract lân cận tuyệt đối và cho A là một tập con của X. Nếu A có một lân cận U mà A là một retract của nó, thì A là một retract lân cận tuyệt đối. Đặc biệt, mọi tập con mở của X, mọi retract của X, đều là một retract lân cận tuyệt đối.

c) Chứng minh rằng không gian tích của một họ hữu hạn các retract lân cận tuyệt đối là một retract lân cận tuyệt đối.

d) Chứng minh rằng mặt cầu $\mathbf{S}_n$ là một retract lân cận tuyệt đối.

e) Cho X là một không gian tôpô kiểu đếm được mà mêtric hóa được, cho $A_1$ và $A_2$ là các tập con đóng của X sao cho $X = A_1\cup A_2$. Giả sử rằng $A_1\cap A_2$ là một retract lân cận tuyệt đối. Để X là một retract lân cận tuyệt đối, điều kiện cần và đủ là điều tương tự cũng đúng đối với $A_1$ và $A_2$.

f) Cho X là một không gian tôpô kiểu đếm được mà mêtric hóa được. Nếu X là hợp của hai tập con mở là các retract lân cận tuyệt đối, thì X là một retract lân cận tuyệt đối.

g) Cho X là một không gian tôpô kiểu đếm được mà mêtric hóa được và sao cho mọi điểm đều có một lân cận là một retract lân cận tuyệt đối. Chứng minh rằng X là một retract lân cận tuyệt đối.