Exercice 7, § 1

Soit X un espace topologique métrisable de type dénombrable. On dit que X est un rétracte absolu de voisinage si pour tout espace topologique métrisable de type dénombrable Y et toute partie fermée B de Y, toute application continue $f: B\rightarrow X$ s’étend en une application continue d’un voisinage de B dans X.

a) Soit X un espace topologique métrisable de type dénombrable. Pour que X soit un rétracte absolu de voisinage, il faut et il suffit que pour tout espace métrisable de type dénombrable Y et toute application continue, injective et fermée $f$ de X dans Y, il existe un voisinage U de $f(X)$ et une application continue $g: U\rightarrow X$ tels que $g\circ f=$ Id$_X$.

b) Soit X un rétracte absolu de voisinage et soit A une partie de X. Si A possède un voisinage U dont il est rétracte, alors A est un rétracte absolu de voisinage. En particulier, tout ouvert de X, tout rétracte de X, est un rétracte absolu de voisinage. c) Démontrer que l’espace produit d’une famille finie de rétractes absolus de voisinage est un rétracte absolu de voisinage.

d) Démontrer que la sphère $\mathbf{S}_n$ est un rétracte absolu de voisinage.

e) Soit X un espace topologique métrisable de type dénombrable, soient $A_1$ et $A_2$ des parties fermées de X telles que $X = A_1\cup A_2$. On suppose que $A_1\cap A_2$ est un rétracte absolu de voisinage. Pour que X soit un rétracte absolu de voisinage, il faut et il suffit qu’il en soit de même de $A_1$ et de $A_2$.

f) Soit X un espace topologique métrisable de type dénombrable. Si X est réunion de deux parties ouvertes qui sont des rétractes absolus de voisinage, alors X est un rétracte absolu de voisinage.

g) Soit X un espace topologique métrisable de type dénombrable dont tout point possède un voisinage qui est un rétracte absolu de voisinage. Démontrer que X est un rétracte absolu de voisinage.