Bài tập 8, § 1

Cho X là một không gian tôpô mêtric hóa; cho $d$ là một khoảng cách xác định tôpô của nó. Cho $\mathscr{C}_b(X;\mathbf{R})$ là không gian vectơ của các hàm giá trị thực trên X liên tục và bị chặn; nó được trang bị chuẩn xác định bởi $\|f\|=$ sup$_{x\in X}|f(x)|$ với $f\in \mathscr{C}_b(X;\mathbf{R})$.

a) Định nghĩa một ánh xạ $j: X\rightarrow \mathscr{C}_b(X;\mathbf{R})$ bằng cách đặt $j(x):y\mapsto$ $d(x, y)/(1 +d(x, y))$. Bài tập chứng minh rằng ánh xạ $j$ cảm sinh một phép đồng phôi của X lên ảnh của nó.

b) Cho V là giao của tất cả các tập con lồi của $\mathscr{C}_b(X;\mathbf{R})$ chứa $j(X)$. Bài tập chứng minh rằng $j(X)$ là đóng trong V.

c) Cho X là một không gian mêtric hóa kiểu đếm được. Bài tập chứng minh rằng tồn tại một tập con lồi Z của $\mathbf{I}^{\mathbf{N}}$ sao cho X là đồng phôi với một tập con đóng của Z.