Exercice 8, § 1

Soit X un espace topologique métrisable ; soit $d$ une distance qui définit sa topologie. Soit $\mathscr{C}_b(X;\mathbf{R})$ l’espace vectoriel des fonctions à valeurs réelles sur X qui sont continues et bornées ; on le munit de la norme définie par $\|f\|=$ sup$_{x\in X}|f(x)|$ pour $f\in \mathscr{C}_b(X;\mathbf{R})$.

a) On définit une application $j: X\rightarrow \mathscr{C}_b(X;\mathbf{R})$ en posant $j(x):y\mapsto$ $d(x, y)/(1 +d(x, y))$. Démontrer que l’application $j$ induit un homéomorphisme de X sur son image.

b) Soit V l’intersection de toutes les parties convexes de $\mathscr{C}_b(X;\mathbf{R})$ qui contiennent $j(X)$. Démontrer que $j(X)$ est fermé dans V.

c) Soit X un espace métrisable de type dénombrable. Démontrer qu’il existe une partie convexe Z de $\mathbf{I}^{\mathbf{N}}$ telle que X soit homéomorphe à une partie fermée de Z.