Bài tập 10, § 5

Với mỗi số nguyên $n\geqslant$ 1, gọi $C_n$ là đường tròn của mặt phẳng số với tâm $(1/n,0)$ và bán kính $1/n$; gọi P là hợp của các không gian $C_n$, với $n\geqslant 1$. Với mỗi số nguyên $n\geqslant$ 1, gọi $B_n$ là tập hợp các điểm $(x, y)$ của mặt phẳng sao cho $(nx-1)^2+n^2y^2\leqslant 1\leqslant ((n+1)x-1)^2+(n+1)^2y^2$; gọi B là tập hợp các điểm $(x, y)$ của mặt phẳng sao cho $(x-1)^2+y^2\leqslant 1$. Đặt $B_0= P$ và gọi A là không gian thương của không gian tổng của họ $(B_n)_{n\geqslant 0}$ bởi quan hệ tương đương mịn nhất xác định $(b, n)$ và $(b,0)$ là tương đương nếu $b\in C_n\cup C_{n+1}$.

(a) Chứng minh rằng tồn tại một ánh xạ liên tục duy nhất $p: A\rightarrow B$ sao cho, với mỗi số nguyên $n\geqslant 0$ và mỗi $b\in B_n$, ánh xạ này gán điểm b với lớp của $(b, n)$. Chứng minh rằng $p$ là song ánh nhưng không phải là một đồng phôi. (b) Chứng minh rằng không gian A là liên thông cung địa phương.

(c) Gọi a là lớp của điểm $(0,0)$. Chứng minh rằng tôpô thương của tôpô hội tụ compact trên $\pi_1(A, a)$ là tôpô thô.

(d) Chứng minh rằng không gian A đơn liên.

(e) Gọi $j$ là ánh xạ chính tắc của $C = B_0$ vào A. Chứng minh rằng ánh xạ $j_*:\pi_1(C,0)\rightarrow \pi_1(A, j(0))$ là toàn ánh và hạt nhân của nó có lũy thừa của continuum.

(f) Chứng minh rằng nhóm $\pi_1(A, j(0))$ có lũy thừa của continuum. Đặc biệt, không gian A không phải là không gian không gian đan được.