Exercice 10, § 5

Pour tout entier $n\geqslant$ 1, soit $C_n$ le cercle du plan numérique de centre $(1/n,0)$ et de rayon $1/n$; soit P la réunion des espaces $C_n$, pour $n\geqslant 1$. Pour tout entier $n\geqslant 1$, soit $B_n$ l’ensemble des points $(x, y)$ du plan tels que $(nx-1)^2+n^2y^2\leqslant 1\leqslant ((n+1)x-1)^2+(n+1)^2y^2$; soit B l’ensemble des points $(x, y)$ du plan tels que $(x-1)^2+y^2\leqslant 1$. Posons $B_0= P$ et soit A l’espace quotient de l’espace somme de la famille $(B_n)_{n\geqslant 0}$ par la relation d’équivalence la moins fine qui identifie $(b, n)$ et $(b,0)$ si $b\in C_n\cup C_{n+1}$.

a) Démontrer qu’il existe une unique application continue $p: A\rightarrow B$ qui, pour tout entier $n\geqslant 0$ et tout $b\in B_n$, associe le point $b$ à la classe de $(b, n)$. Démontrer que $p$ est bijective mais que ce n’est pas un homéomorphisme. b) Démontrer que l’espace A est localement connexe par arcs.

c) Soit $a$ la classe du point $(0,0)$. Démontrer que la topologie quotient de la topologie de la convergence compacte sur $\pi_1(A, a)$ est la topologie grossière. d) Démontrer que l’espace A est simplement connexe.

e) Soit $j$ l’application canonique de $C = B_0$ dans A. Démontrer que l’application $j_*:\pi_1(C,0)\rightarrow \pi_1(A, j(0))$ est surjective et que son noyau a la puissance du continu.

f) Démontrer que le groupe $\pi_1(A, j(0))$ a la puissance du continu. En particulier, l’espace A n’est pas délaçable.