Bài tập 2, § 5

Cho X là một không gian tôpô và $a$ là một điểm của X. Một nhóm con H của $\pi_1(X, a)$ được gọi là thích hợp nếu, với mọi $b\in X$ và mọi lớp đường đi $\gamma \in \varpi_{a,b}(X)$, tồn tại một lân cận V của $b$ sao cho với mọi vòng $c\in \Omega_b(V)$, lớp của vòng $\gamma [c]\gamma^{-1}$ thuộc H.

a) Hãy chỉ ra rằng tồn tại một tôpô nhóm duy nhất trên $\pi_1(X, a)$ mà đối với nó các nhóm con thích hợp là các nhóm con mở.

b) Hãy chỉ ra rằng tôpô này mịn hơn tôpô hội tụ compact nhưng rằng hai tôpô này có cùng các nhóm con mở phân biệt.

c) Nếu X liên thông địa phương theo cung, thì tôpô thích hợp và tôpô hội tụ compact có cùng các nhóm con mở.