Exercice 2, § 5

Soit X un espace topologique et soit $a$ un point de X. On dit qu’un sous-groupe H de $\pi_1(X, a)$ est adéquat si, pour tout $b\in X$ et toute classe de chemin $\gamma \in \varpi_{a,b}(X)$, il existe un voisinage V de $b$ tel que pour tout lacet $c\in \Omega_b(V)$, la classe du lacet $\gamma [c]\gamma^{-1}$ appartient à H.

a) Montrer qu’il existe une unique topologie de groupe sur $\pi_1(X, a)$ pour laquelle les sous-groupes adéquats sont les sous-groupes ouverts.

b) Montrer que cette topologie est plus fine que la topologie de la convergence compacte mais que ces deux topologies ont mêmes sous-groupes ouverts distingués.

c) Si X est localement connexe par arcs, la topologie adéquate et la topologie de la convergence compacte ont mêmes sous-groupes ouverts.