Bài tập 3, § 5

Cho $C$ là đường tròn có đường kính $((0,0),(0,1))$ trong $\mathbf{R}^2$ và gọi P là hợp của các $2^nC$, với $n\in \mathbf{Z}$. Gọi E là thương của không gian $P\times \mathbf{R}$ theo quan hệ tương đương là quan hệ thô nhất sao cho $(x, t)\sim (2x, t+ 1)$ với mọi $(x, t)\in$ $P\times \mathbf{R}$. Ký hiệu bởi $p$ toàn cấu chính tắc từ $P\times \mathbf{R}$ lên E. Gọi $a$ là điểm $(0,0)$ của P và đặt $e=p(a,0)$.

a) Chứng minh rằng $p$ làm cho $P\times \mathbf{R}$ thành một phủ Galois với nhóm $\mathbf{Z}$. Chứng minh rằng $p_*(\pi_1(P\times \mathbf{R},(a,0)))$ là một nhóm con chuẩn tắc mở của $\pi_1(E, e)$, với thương là $\mathbf{Z}$.

b) Gọi $\varphi : P\rightarrow P$ là ánh xạ được xác định bởi $\varphi (x) =x$ nếu $x\in C$ và $\varphi (x) = (0,0)$ trong các trường hợp khác. Chứng minh rằng nó liên tục.

c) Chứng minh rằng hạt nhân của đồng cấu $\varphi_*=\pi_1(\varphi ,(a,0))$ là một nhóm con của $\pi_1(P\times \mathbf{R},(a,0))$ mở đối với tôpô hội tụ compact.

d) Gọi $u:\mathbf{I}\rightarrow C$ là vòng cho bởi $t\mapsto \frac{1}{2}(1-$ cos(2$\pi t$), sin(2$\pi t$)) và gọi $c\in \Omega_e(E)$ là vòng cho bởi $t\mapsto (u(t),0)$. Chứng minh rằng ảnh của $\varphi_*$ là một nhóm con mở của $\pi_1(E, e)$ không chứa lớp của vòng $c$.

e) Gọi $c_n:\mathbf{I}\rightarrow E$ là vòng được xác định bởi $c_n(t) =p(2^{-n}u(t),0)$ và gọi $d:\mathbf{I}\rightarrow E$ là vòng cho bởi $t\mapsto p(a, t)$. Chứng minh rằng $d^nc_n\overline{d}^n$ đồng luân chặt với $c$. Suy ra rằng lớp $[c]$ được chứa trong mọi nhóm con khả chấp của $\pi_1(E, e)$.

f) Chứng minh rằng tôpô khả chấp trên $\pi_1(E, e)$ ngặt nghèo kém mịn hơn tôpô hội tụ compact.