Exercice 3, § 5

Soit C le cercle de diamètre $((0,0),(0,1))$ dans $\mathbf{R}^2$ et soit P la réunion des $2^nC$, pour $n\in \mathbf{Z}$. Soit E le quotient de l’espace $P\times \mathbf{R}$ par la relation d’équivalence la moins fine pour laquelle $(x, t)\sim (2x, t+ 1)$ pour tout $(x, t)\in$ $P\times \mathbf{R}$. Notons $p$ la surjection canonique de $P\times \mathbf{R}$ sur E. Soit $a$ le point $(0,0)$ de P et posons $e=p(a,0)$.

a) Montrer que $p$ fait de $P\times \mathbf{R}$ un revêtement galoisien de groupe $\mathbf{Z}$. Montrer que $p_*(\pi_1(P\times \mathbf{R},(a,0)))$ est un sous-groupe distingué ouvert de $\pi_1(E, e)$, de quotient $\mathbf{Z}$.

b) Soit $\varphi : P\rightarrow P$ l’application définie par $\varphi (x) =x$ si $x\in C$ et $\varphi (x) = (0,0)$ sinon. Montrer qu’elle est continue.

c) Montrer que le noyau de l’homomorphisme $\varphi_*=\pi_1(\varphi ,(a,0))$ est un sous-groupe de $\pi_1(P\times \mathbf{R},(a,0))$ qui est ouvert pour la topologie de la convergence compacte.

d) Soit $u:\mathbf{I}\rightarrow C$ le lacet donné par $t\mapsto \frac{1}{2}(1-$ cos(2$\pi t$), sin(2$\pi t$)) et soit $c\in \Omega_e(E)$ le lacet donné par $t\mapsto (u(t),0)$. Montrer que l’image de $\varphi_*$ est un sous-groupe ouvert de $\pi_1(E, e)$ qui ne contient pas la classe du lacet $c$.

e) Soit $c_n:\mathbf{I}\rightarrow E$ le lacet défini par $c_n(t) =p(2^{-n}u(t),0)$ et soit $d:\mathbf{I}\rightarrow E$ le lacet donné par $t\mapsto p(a, t)$. Montrer que $d^nc_n\overline{d}^n$ est strictement homotope à $c$. En déduire que la classe $[c]$ est contenue dans tout sous-groupe admissible de $\pi_1(E, e)$.

f) Montrer que la topologie admissible sur $\pi_1(E, e)$ est strictement moins fine que la topologie de la convergence compacte.