Bài tập 5, § 5

Cho $X_0$ là đường tròn đơn vị của mặt phẳng số $\mathbf{R}^2$; cho $X_1$ là hợp của các đoạn nối điểm $(1,0)$ với các điểm $(3,1/n)$, với $n\in \mathbf{N}^*$; cho $X_2$ là tập hợp các điểm $(x, y)$ của mặt phẳng sao cho $(x-2)^2+y^2= 1$ và $y\leqslant 0$; ta đặt $X = X_0\cup X_1\cup X_2$.

a) Cho $Y = X\cup (-X)$. Cho $p: Y\rightarrow X$ là ánh xạ được xác định như sau: ta có $p$(cos($t$), sin($t$)) $=$ (cos(2$t$), sin(2$t$)) với $t\in \mathbf{R}$ và $p(z) =p(-z) =z$ với $z\in X_1\cup X_2$. Chứng minh rằng $p$ làm cho $Y$ là một phép phủ bậc 2 của $X$.

b) Cho $Z_2$ là tập hợp các điểm của mặt phẳng sao cho $(x-1)^2+y^2= 4$ và $y\leqslant 0$; ta đặt $Z = X_0\cup X_1\cup (-X_1)\cup Z_2\cup (-Z_2)$. Cho $q: Z\rightarrow X$ là ánh xạ được xác định bởi $q$(cos($t$), sin($t$)) $=$ (cos(2$t$), sin(2$t$)) với $t\in \mathbf{R},q(z) =q(-z) =z$ với $z\in X_1$ và $q(z) =q(-z) = 1 +\frac{1}{2}z$ với $z\in Z_2$. Chứng minh rằng $q$ làm cho $Z$ là một phép phủ bậc 2 của $X$.

c) Chứng minh rằng $q_*\pi_1(Z,(1,0)) =p_*\pi_1(Y,(1,0))$ nhưng không tồn tại một ánh xạ liên tục $f: Z\rightarrow Y$ sao cho $p\circ f=q$.[^1]

[^1]: Ví dụ này là do E. C. Zeeman.