Exercice 5, § 5

Soit $X_0$ le cercle unité du plan numérique $\mathbf{R}^2$; soit $X_1$ la réunion des segments reliant le point $(1,0)$ aux points $(3,1/n)$, pour $n\in \mathbf{N}^*$; soit $X_2$ l’ensemble des points $(x, y)$ du plan tels que $(x-2)^2+y^2= 1$ et $y\leqslant 0$ ; on pose $X = X_0\cup X_1\cup X_2$.

a) Soit $Y = X\cup (-X)$. Soit $p: Y\rightarrow X$ l’application définie comme suit : on a $p$(cos($t$), sin($t$)) $=$ (cos(2$t$), sin(2$t$)) pour $t\in \mathbf{R}$ et $p(z) =p(-z) =z$ pour $z\in X_1\cup X_2$. Démontrer que $p$ fait de Y un revêtement de degré 2 de X.

b) Soit $Z_2$ l’ensemble des points du plan tels que $(x-1)^2+y^2= 4$ et $y\leqslant 0$ ; on pose $Z = X_0\cup X_1\cup (-X_1)\cup Z_2\cup (-Z_2)$. Soit $q: Z\rightarrow X$ l’application définie par $q$(cos($t$), sin($t$)) $=$ (cos(2$t$), sin(2$t$)) pour $t\in \mathbf{R},q(z) =q(-z) =z$ pour $z\in X_1$ et $q(z) =q(-z) = 1 +\frac{1}{2}z$ pour $z\in Z_2$. Démontrer que $q$ fait de Z un revêtement de degré 2 de X.

c) Démontrer que $q_*\pi_1(Z,(1,0)) =p_*\pi_1(Y,(1,0))$ mais qu’il n’existe pas d’application continue $f: Z\rightarrow Y$ telle que $p\circ f=q$.[^1]

[^1]: Cet exemple est dû à E. C. Zeeman.