Bài tập 6, § 5

Với mọi số nguyên $n\geqslant 1$, đặt $x_n= (1/n,0)$ và ký hiệu $C_n$ là đường tròn của mặt phẳng số có đường kính $(0, x_n)$. Gọi P là hợp của các không gian $C_n$, với $n\in \mathbf{N}$ (“vòng tai Hawaii”, xem I, p. 146, bài tập 5); với mọi số nguyên $n\geqslant 1$, ký hiệu $P_n$ là hợp của các không gian $C_m$, với $1\leqslant m\leqslant n$ và $P^n$ là hợp của các không gian $C_m$, với $m > n$.

a) Cho $n$ là một số nguyên $\geqslant 1$ và cho $r_n$ là ánh xạ từ P vào $P_n$ ánh xạ một điểm $x\in P$ lên chính nó nếu $x\in P_n$, và lên 0 trong trường hợp ngược lại. Chứng minh rằng $r_n$ là một co rút liên tục của đơn ánh chính tắc của $P_n$ vào P.

b) Chứng minh rằng $P_n$ là co rút được địa phương. Suy ra rằng mọi điểm của P phân biệt với gốc có một lân cận co rút được tại điểm này.

c) Chứng minh rằng các đơn ánh chính tắc của $P_n$ và $P^n$ vào P cảm sinh một đẳng cấu nhóm của tích tự do $\pi_1(P_n,0)*\pi_1(P^n,0)$ lên $\pi_1(P,0)$. (Chứng minh rằng đơn ánh chính tắc của $P^n$ vào phần bù $U_n$ của tập hợp $\{x_1, . . . , x_n\}$ là một tương đương đồng luân. Áp dụng sau đó Mệnh đề 2 của IV, p. 422 cho phủ $(P_n,U_n)$ của P.) d) Cho $\gamma \in \pi_1(P,0)$ là một lớp các đường cong kín sao cho $(r_n)_*(\gamma ) =\varepsilon_0$ với mọi số nguyên $n\geqslant 1$; chứng minh rằng $\gamma =\varepsilon_0$.

e) Đồng cấu chính tắc của $\pi_1(P,0)$ vào lim$\leftarrow -_n\pi_1(P_n,0)$ suy ra từ họ $((r_n)_*)$ là đơn ánh và tôpô khả dụng trên $\pi_1(P,0)$ là ảnh ngược của tôpô của giới hạn xạ ảnh trên lim$\leftarrow -_n\pi_1(P_n,0)$, các nhóm $\pi_1(P_n,0)$ được trang bị tôpô rời rạc.

f) Chứng minh rằng các thành phần liên thông theo đường của $\Omega_0(P)$ là đóng, cũng như các thành phần của $\Omega_{(0,0)}(P\times P)$.