Exercice 6, § 5

Pour tout entier $n\geqslant 1$, on pose $x_n= (1/n,0)$ et on note $C_n$ le cercle du plan numérique de diamètre $(0, x_n)$. Soit P la réunion des espaces $C_n$, pour $n\in \mathbf{N}$ (« boucle d’oreille hawaïenne », cf. I, p. 146, exerc. 5) ; pour tout entier $n\geqslant 1$, on note $P_n$ la réunion des espaces $C_m$, pour $1\leqslant m\leqslant n$ et $P^n$ la réunion des espaces $C_m$, pour $m > n$.

a) Soit $n$ un entier $\geqslant 1$ et soit $r_n$ l’application de P dans $P_n$ qui applique un point $x\in P$ sur lui-même si $x\in P_n$, et sur 0 sinon. Démontrer que $r_n$ est une rétraction continue de l’injection canonique de $P_n$ dans P.

b) Démontrer que $P_n$ est localement contractile. En déduire que tout point de P distinct de l’origine a un voisinage contractile en ce point.

c) Démontrer que les inclusions canoniques de $P_n$ et $P^n$ dans P induisent un isomorphisme de groupes du produit libre $\pi_1(P_n,0)*\pi_1(P^n,0)$ sur $\pi_1(P,0)$. (Démontrer que l’injection canonique de $P^n$ dans le complémentaire $U_n$ de l’ensemble $\{x_1, . . . , x_n\}$ est une homéotopie. Appliquer alors la proposition 2 de IV, p. 422 au recouvrement $(P_n,U_n)$ de P.) d) Soit $\gamma \in \pi_1(P,0)$ une classe de lacets telle que $(r_n)_*(\gamma ) =\varepsilon_0$ pour tout entier $n\geqslant 1$ ; démontrer que $\gamma =\varepsilon_0$.

e) L’homomorphisme canonique de $\pi_1(P,0)$ dans lim$\leftarrow -_n\pi_1(P_n,0)$ déduit de la famille $((r_n)_*)$ est injectif et la topologie admissible sur $\pi_1(P,0)$ est l’image réciproque de la topologie de la limite projective sur lim$\leftarrow -_n\pi_1(P_n,0)$, les groupes $\pi_1(P_n,0)$ étant munis de la topologie discrète.

f) Démontrer que les composantes connexes par arcs de $\Omega_0(P)$ sont fermées, de même que celles de $\Omega_{(0,0)}(P\times P)$.