Bài tập 7, § 5

Ta dùng lại ký hiệu của Bài tập 6.

a) Với mọi số nguyên $n\geqslant 1$, gọi $\alpha_n\in \pi_1(P,0)$ là lớp của một vòng trong $C_n$ mà lớp của nó sinh ra $\pi_1(C_n,0)$. Khi đó đặt $\beta_n=\alpha_1\alpha_n\alpha^{-1}_1\alpha^{-1}_n$ và $\gamma_n=\beta_n^n$. Dãy $(\gamma_n)$ có giới hạn là $\varepsilon_0$ đối với tôpô chấp nhận được.

b) Cho $n\in \mathbf{N}^*$. Với mọi $c\in \Omega_0(P)$, ký hiệu bởi $\omega_n(c)$ cận trên đúng của các số nguyên $k$ sao cho tồn tại một dãy tăng ngặt $(t_1, . . . , t_{2k})$ gồm các phần tử của $\mathbf{I}$ thỏa mãn $c(t_{2i}) = 0$ và $c(t_{2i-1}) =x_n$ với $i\in \{1, . . . , k\}$. Chứng minh rằng $\omega_n(c)$ là một số nguyên. Chứng minh rằng ánh xạ $\omega_n$ từ $\Omega_0(P)$ vào $\mathbf{N}$ là nửa liên tục trên.

c) Với mọi số nguyên $n\geqslant 1$, gọi $c_n$ là một đường đi có lớp là $\gamma_n$. Chứng minh rằng $\omega_1(c_n)\geqslant 4n$. Suy ra rằng dãy $(c_n)$ không có giới hạn trong $\mathscr{C}_c(\mathbf{I}; P)$. d) Tôpô chấp nhận được trên nhóm $\pi_1(P,0)$ là tách biệt, không rời rạc, và ngặt thô hơn tôpô hội tụ compáct. Đặc biệt, không gian P không tháo được.