Exercice 7, § 5

On reprend les notations de l’exercice 6.

a) Pour tout entier $n\geqslant 1$, soit $\alpha_n\in \pi_1(P,0)$ la classe d’un lacet dans $C_n$ dont la classe engendre $\pi_1(C_n,0)$. Posons alors $\beta_n=\alpha_1\alpha_n\alpha^{-1}_1\alpha^{-1}_n$ et $\gamma_n=\beta_n^n$. La suite $(\gamma_n)$ tend vers $\varepsilon_0$ pour la topologie admissible.

b) Soit $n\in \mathbf{N}^*$. Pour tout $c\in \Omega_0(P)$, on note $\omega_n(c)$ la borne supérieure des entiers $k$ tels qu’il existe une suite strictement croissante $(t_1, . . . , t_{2k})$ d’éléments de $\mathbf{I}$ tels que $c(t_{2i}) = 0$ et $c(t_{2i-1}) =x_n$ pour $i\in \{1, . . . , k\}$. Prouver que $\omega_n(c)$ est un entier. Démontrer que l’application $\omega_n$ de $\Omega_0(P)$ dans $\mathbf{N}$ est semi-continue supérieurement.

c) Pour tout entier $n\geqslant 1$, soit $c_n$ un chemin dont la classe est $\gamma_n$. Démontrer que $\omega_1(c_n)\geqslant 4n$. En déduire que la suite $(c_n)$ n’a pas de limite dans $\mathscr{C}_c(\mathbf{I}; P)$. d) La topologie admissible sur le groupe $\pi_1(P,0)$ est séparée, non discrète, et strictement moins fine que la topologie de la convergence compacte. L’espace P n’est en particulier pas délaçable.