Bài tập 8, § 5

Ta xét lại các ký hiệu của Bài tập 6 và 7; gọi thêm $p: \Omega_0(P)\rightarrow$ $\pi_1(P,0)$ là toàn cấu chính tắc.

(a) Với mọi cặp $(m, n)$ số nguyên $\geqslant$ 1 sao cho $m=\not n$, đặt $\lambda_{m,n}= (\alpha_m\alpha_n\alpha^{-1}_m\alpha^{-1}_n)^{m+n}$ và $\lambda_{m,n}= (\alpha_1\alpha_m\alpha^{-1}_1\alpha^{-1}_m)^n$; gọi S là tập hợp các cặp dạng $(\lambda_{m,n}, \mu_{m,n})$ trong $\pi_1(P,0)\times \pi_1(P,0)$. Chứng minh rằng S không đóng nhưng ảnh ngược của nó trong $\Omega_0(P)\times \Omega_0(P)$ là đóng. Suy ra rằng ánh xạ $p\times p: \Omega_0(P)^2\times \pi_1(P,0)^2$ không ngặt.

(b) Gọi T là tập hợp các lớp của các vòng dạng $\lambda_{m,n}\mu_{m,n}$ trong $\pi_1(P,0)$. Chứng minh rằng T là đóng.

(c) Chứng minh rằng luật hợp thành của $\pi_1(P,0)$ không liên tục khi nhóm $\pi_1(P,0)$ được trang bị tôpô thương của hội tụ compact.[^1]

[^1]: Ví dụ này là của P. Fabel, “Multiplication is discontinuous in the Hawaiian earring group (with the quotient topology)”, Bull. Polish Acad. Sci. Math. 59 (2011), p. 77-83.