Exercice 8, § 5

On reprend les notations des exercices 6 et 7; soit aussi $p: \Omega_0(P)\rightarrow$ $\pi_1(P,0)$ la surjection canonique.

a) Pour tout couple $(m, n)$ d’entiers $\geqslant$ 1 tels que $m=\not n$, on pose $\lambda_{m,n}= (\alpha_m\alpha_n\alpha^{-1}_m\alpha^{-1}_n)^{m+n}$ et $\lambda_{m,n}= (\alpha_1\alpha_m\alpha^{-1}_1\alpha^{-1}_m)^n$; soit S l’ensemble des couples de la forme $(\lambda_{m,n}, \mu_{m,n})$ dans $\pi_1(P,0)\times \pi_1(P,0)$. Démontrer que S n’est pas fermé mais que son image réciproque dans $\Omega_0(P)\times \Omega_0(P)$ l’est. En déduire que l’application $p\times p: \Omega_0(P)^2\times \pi_1(P,0)^2$ n’est pas stricte.

b) Soit T l’ensemble des classes de lacets de la forme $\lambda_{m,n}\mu_{m,n}$ dans $\pi_1(P,0)$. Démontrer que T est fermé.

c) Démontrer que la loi de composition de $\pi_1(P,0)$ n’est pas continue lorsqu’on munit le groupe $\pi_1(P,0)$ de la topologie quotient de la convergence compacte.[^1]

[^1]: Cet exemple est dû à P. Fabel, « Multiplication is discontinuous in the Hawaiian earring group (with the quotient topology) », Bull. Polish Acad. Sci. Math. 59 (2011), p. 77-83.