Bài tập 2, § 2

Cho $Y$ là một không gian đều và cho $X$ là một không gian con của $Y$. Cho $(U_i)_{i\in I}$ là một phủ mở của $X$.

a) Chứng minh rằng tồn tại một lân cận mở V của X trong Y và một phủ mở $(V_i)_{i\in I}$ của V thỏa mãn các tính chất sau:

(i) Với mọi $i,U_i= V_i\cap X$ ;

(ii) Với mọi tập con J của I sao cho $\bigcap_{j\in J}V_j=\not\emptyset ,\bigcap_{j\in J}U_j=\not\emptyset$.

b) Giả sử rằng Y địa phương liên thông và các $U_i$ là liên thông. Chứng minh rằng tồn tại một phủ như vậy trong đó các $V_i$ là các tập con mở liên thông của Y.

c) Giả sử rằng các $U_i$ là liên thông và, với mọi $i\in I$, cho một điểm $x_i\in U_i$. Giả sử rằng ảnh của $\pi_1(U_i, x_i)$ trong $\pi_1(X, x_i)$ được thu về phần tử đơn vị. Bây giờ chứng minh rằng tồn tại một lân cận V của X trong Y sao cho, với mọi $x\in X$, đồng cấu chính tắc $\pi_1(X, x)\rightarrow \pi_1(V, x)$ có một phép co rút.