Exercice 2, § 2

Soit Y un espace uniforme et soit X un sous-espace de Y. Soit $(U_i)_{i\in I}$ un recouvrement ouvert de X.

a) Démontrer qu’il existe un voisinage ouvert V de X dans Y et un recouvrement ouvert $(V_i)_{i\in I}$ de V vérifiant les propriétés suivantes :

(i) Pour tout $i,U_i= V_i\cap X$ ;

(ii) Pour toute partie J de I telle que $\bigcap_{j\in J}V_j=\not\emptyset ,\bigcap_{j\in J}U_j=\not\emptyset$.

b) On suppose que Y est localement connexe et que les $U_i$ sont connexes. Démontrer qu’il existe un tel recouvrement où les $V_i$ sont des ouverts connexes de Y.

c) Supposons que les $U_i$ soient connexes et soit, pour tout $i\in I$, un point $x_i\in U_i$. Supposons que l’image de $\pi_1(U_i, x_i)$ dans $\pi_1(X, x_i)$ soit réduite à l’élément neutre. Montrer qu’il existe un voisinage V de X dans Y tel que, pour tout $x\in X$, l’homomorphisme canonique $\pi_1(X, x)\rightarrow \pi_1(V, x)$ admette une rétraction.