Comme l’espace A est délaçable, il existe un revêtement E de A dont la fibre $E_a$ est un $\pi_1(A, a)$-ensemble principal homogène (IV, p. 342, théorème 1). Par hypothèse, cette opération se déduit par l’homomorphisme $\pi_1(f, a)$ d’une opération de $\pi_1(B, b)$ sur $\pi_1(A, a)$. Ceci implique l’injectivité de l’homomorphisme $\pi_1(f, a)$.

(i) L’homomorphisme $\pi_1(f, a):\pi_1(A, a)\rightarrow \pi_1(B, b)$ est surjectif.

(ii) Pour tout couple $(E,E')$ de revêtements de B, l’application

qui, à un B-morphisme $g: E\rightarrow E'$, associe le A-morphisme

est bijective.

Au moyen de l’homomorphisme $\pi_1(f, a)$, tout $\pi_1(B, b)$-ensemble est muni d’une structure de $\pi_1(A, a)$-ensemble. La condition (i) est alors équivalente à la condition (i$'$) suivante :

(i$'$) Pour tout couple $(F,F')$ de $\pi_1(B, b)$-ensembles, tout $\pi_1(A, a)$-morphisme de F dans $F'$ est un $\pi_1(B, b)$-morphisme.

En effet, si l’homomorphisme $\pi_1(f, a)$ est surjectif, tout $\pi_1(A, a)$-morphisme de $\pi_1(B, b)$-ensembles est un $\pi_1(B, b)$-morphisme. Inversement, prenons un $\pi_1(B, b)$-ensemble F réduit à un point et posons $F'=\pi_1(B, b)/f_*(\pi_1(A, a))$. L’application de F dans $F'$ dont l’image est $f_*(\pi_1(A, a))$ est un $\pi_1(A, a)$-morphisme mais n’est pas un $\pi_1(B, b)$-morphisme si $F'$ n’est pas réduit à un point, c’est-à-dire si $\pi_1(f, a)$ n’est pas surjectif.

Comme l’espace B est délaçable, tout $\pi_1(B, b)$-ensemble est isomorphe au $\pi_1(B, b)$-ensemble $E_b$, où E est un revêtement de B (IV, p. 344, remarque 1). L’équivalence de (i$'$) et (ii) résulte donc de la prop. 2 de III, p. 310.

(i) Tout revêtement de B est trivialisable au-dessus de A.

(ii) L’image de l’homomorphisme de $\pi_1(A, a)$ dans $\pi_1(B, a)$ déduit de l’injection canonique est réduite à l’élément neutre.

L’implication (ii)$\Rightarrow$(i) résulte du corollaire 3 (III, p. 309).

Inversement, supposons que tout revêtement de B soit trivialisable au-dessus de A. C’est en particulier le cas du revêtement simplement connexe par arcs $(\lambda_a(B), \varepsilon_B)$ (IV, p. 342, th. 1), si bien que l’homomorphisme $\pi_1(A, a)\rightarrow \pi_1(B, a)$ est trivial (III, p. 309, cor. 3 de la prop. 1).

a) Pour toute composante connexe U de X$,\overline{f(U)}$ est une partie

connexe, ouverte et fermée de Y, et l’on a $\overset{-1}{f}(f(U)) = U$.

b) Pour toute composante connexe V de Y, il existe une composante connexe U de X telle que $V =f(U)$. L’application de U dans V déduite de $f$ par passage aux sous-ensembles est relativement connexe.

c) Les composantes connexes de X ( resp. de Y) sont ouvertes et fermées.

a) Soit V l’ensemble des $y\in Y$ qui possèdent un voisinage W tel que

$\overset{-1}{f}(W)$ soit connexe et rencontre U ; c’est un ouvert de Y. Il contient $\overline{f(U)}$ car $f$ est relativement connexe. Inversement, soit $y\in V$ ; soit

W un voisinage de $y$ tel que $\overset{-1}{f}(W)$ soit connexe et rencontre U. Pour

tout voisinage $W'$ de $y$ tel que $\overset{-1}{f}(W')$ soit connexe, $\overset{-1}{f}(W\cap W')$ n’est

pas vide, donc $\overset{-1}{f}(W\cup W')$ est connexe (TG, I, p. 81, prop. 2). Par

hypothèse, $\overset{-1}{f}(W\cup W')$ rencontre U ; on a donc $\overset{-1}{f}(W\cup W')\subset U$ et, a fortiori, $W'\cap f(U)=\not\emptyset$. Cela démontre que $y\in \overline{f(U)}$; par suite, $V =\overline{f(U)}$. En particulier, l’ensemble $\overline{f(U)}$ est ouvert et fermé dans Y ; la prop. 1 (TG, I, p. 81) entraîne en outre qu’il est connexe.

Les arguments qui précèdent montrent de plus que $\overset{-1}{f}(f(U))\subset U$,

d’où l’égalité $\overset{-1}{f}(f(U)) = U$, l’autre inclusion étant évidente. En particulier, U est ouvert et fermé dans X.

b) Soit V la composante connexe d’un point $y$ de Y, soit W un

voisinage de $y$ tel que $\overset{-1}{f}(W)$ soit connexe et non vide et soit U la

composante connexe de X qui contient $\overset{-1}{f}(W)$. Comme $y\in \overline{f(U)}$, il résulte de a) et de la définition de la composante connexe de $y$ que $V =\overline{f(U)}$. Par suite, V est ouvert et fermé dans Y.

a) L’image $f(X)$ est dense dans Y ;

b) L’espace Y est localement connexe ; $-_1$

c) Pour tout ensemble ouvert et connexe V de Y, l’ensemble $f(V)$ est connexe.

Supposons que l’application $f$ soit relativement connexe. La densité de $f(X)$ dans Y résulte de la définition d’une application relativement

connexe. Soit V un ouvert de Y ; l’application $f_V:\overset{-1}{f}(V)\rightarrow$ V est relativement connexe. D’après la prop. 4, les composantes connexes de V sont ouvertes et fermées dans V. Il en résulte que Y est localement connexe (TG, I, p. 85, prop. 11). Pour démontrer l’assertion c), il suffit de démontrer que X est connexe si Y l’est. D’après le lemme, il existe

une composante connexe U de X telle que $Y =\overline{f(U)}$ et $\overset{-1}{f}(f(U)) = U$, d’où U = X et X est connexe.

Inversement, supposons que les conditions a), b), c) sont vérifiées et montrons que $f$ est relativement connexe. Soit $y$ un point de Y ; puisque Y est localement connexe, $y$ admet un système fondamental de voisinages ouverts connexes. Si W est un tel voisinage, les conditions

c) et a) impliquent que $\overset{-1}{f}(W)$ est connexe et non vide. Par suite, l’application $f$ est relativement connexe.

La restriction de $g$ à toute composante connexe de X est constante. D’après le corollaire 1, il existe une application $h: Y\rightarrow F$, constante sur chaque composante connexe de Y, telle que $g=h\circ f$. L’application $h$ est localement constante, car les composantes connexes de Y sont ouvertes. L’unicité d’une telle application résulte de ce que $f(X)$ est dense dans Y.

Soient $\mathscr{F}$ le faisceau sur X des X-morphismes de $X\times_YT$ dans $X\times_YT'$ et soit $\mathscr{G}$ le faisceau sur Y des Y-morphismes de T dans $T'($I, p. 45, exemple 4). Pour tout ouvert U de Y, posons $\varphi_U= (f_U)^*:\mathscr{G}(U)\rightarrow$

$\mathscr{F}(\overset{-1}{f}(U))$. Les applications $\varphi_U$ définissent un morphisme de faisceaux $\varphi :\mathscr{G}\rightarrow \varphi_*(\mathscr{F})$ et il suffit de démontrer que $\varphi$ est un isomorphisme de faisceaux.

Comme Y est localement connexe (IV, p. 354, cor. 2), les ensembles ouverts connexes au-dessus desquels T et $T'$ sont trivialisables forment une base de la topologie de Y. D’après le corollaire 2 de I, p. 55, il suffit de démontrer que pour un tel ouvert U, l’application $\varphi_U$ est bijective, ce qui nous permet de supposer que Y est connexe et que les revêtements T et $T'$ sont les revêtements triviaux $Y\times F$ et $Y\times F'$ où F et $F'$ sont des ensembles munis de la topologie discrète. L’application $(x,(y, t))\mapsto (x, t)$ identifie le X-espace $X\times_Y(Y\times F)$ à $X\times F$ (resp. le X-espace $X\times_Y(Y\times F')$ à $X\times F'$). Comme l’espace X est connexe (IV, p. 354, cor. 2), les ensembles $\mathscr{C}_Y(Y\times F; Y\times F')$ et $\mathscr{C}_X(X\times F; X\times F')$ s’identifient tous deux à l’ensemble $\mathscr{F}(F; F')$ des applications de F dans $F'$, et l’application $f^*$ s’identifie à l’application identique de $\mathscr{F}(F; F')$. Cela conclut la démonstration.

Soient en effet $h: X\times_YT\rightarrow X\times_YT'$ et $h': X\times_YT'\rightarrow X\times_YT$ des X-isomorphismes réciproques l’un de l’autre. D’après la proposition 5, il existe des Y-morphismes $g: T\rightarrow T'$ et $g': T'\rightarrow T$ tels que $f^*(g) =h$ et $f^*(g') =h'$. On a alors $f^*(g'\circ g) =f^*(g')\circ f^*(g) =$ Id$_{X\times_YT}$, donc $g'\circ g=$ Id$_T$, car l’application $f^*$ est injective. De même, $g\circ g'=$ Id$_{T'}$. Les revêtements T et $T'$ sont donc isomorphes.

D’après le corollaire 1, tout revêtement de Y est en effet trivialisable.

D’après IV, p. 353, prop. 4, on peut supposer que les espaces X et Y sont connexes. Le corollaire résulte alors de la proposition 5 et de la proposition 2 de IV, p. 352.

Soit $\mathscr{U}$ l’ensemble des ouverts de Y dont l’image réciproque dans X

est simplement connexe. Pour tout $V\in \mathscr{U}$, le revêtement $\overset{-1}{f}(V)\times_XZ$

de $\overset{-1}{f}(V)$ est trivialisable ; il existe ainsi un espace discret $F_V$ et un

isomorphisme de revêtements $g_V:\overset{-1}{f}(V)\times_XZ\rightarrow \overset{-1}{f}(V)\times F_V$. Pour tout

couple $(V,V')$ d’ouverts appartenant à $\mathscr{U}$, l’application $f_{V\cap V'}:\overset{-1}{f}(V\cap$ $V')\rightarrow V\cap V'$ est relativement connexe. D’après la proposition 5 de IV, p. 356, il existe un unique isomorphisme de revêtements de $V\cap V'$, $h_{V',V}: (V\cap V')\times F_V\rightarrow (V\cap V')\times F_{V'}$, tel que l’on ait $f^*(h_{V',V})(x, t) =$ $g_{V'}(g_V^{-1}(x, t))$ pour tout $x\in V\cap V'$ et tout $t\in F_V$. Si V, $V',V''$ sont des éléments de $\mathscr{U}$, on a $h_{V'',V}(x, t) =h_{V'',V'}(h_{V',V}(x, t))$ pour tout $x\in V\cap V'\cap V''$ et tout $t\in F_V$. Il existe alors un unique Y-espace T et, pour tout $V\in \mathscr{U}$, un isomorphisme $h_V: T_V\rightarrow V\times F_V$, tel que l’on ait $h_{V',V}(x, t) =h_{V'}\circ h^{-1}_V(x, t)$ pour tout couple $(V,V')$ d’ouverts appartenant à $\mathscr{U}$, tout $x\in V\cap V'$ et tout $t\in F_V($cf. TG, I, p. 16). L’espace T est en particulier un revêtement de Y. Il existe en outre une

unique application de $X\times_YT$ sur Z dont la restriction à $\overset{-1}{f}(V)\times_YT$ est donnée par $g^{-1}_V\circ f^*(h_V)$ et c’est un isomorphisme de X-espaces, d’où la proposition.

réciproque $\overset{-1}{f}(V)$ soit simplement connexe. Alors, pour tout point $x$ de X, l’homomorphisme $\pi_1(f, x):\pi_1(X, x)\rightarrow \pi_1(Y, f(x))$ est bijectif.

On peut supposer les espaces X et Y connexes (IV, p. 353, prop. 4). D’après le corollaire 3 (IV, p. 357), l’homomorphisme $\pi_1(f, x)$ est surjectif. La proposition 6 et la proposition 1 de IV, p. 351 entraînent qu’il est injectif.

La composante connexe par arcs de $x$ dans X est ouverte, fermée et est délaçable ; cela permet de supposer que l’espace X est connexe. Comme l’espace X est délaçable, le X-espace $E =\lambda_x(X)$, muni de l’application terme, est un revêtement non vide et simplement connexe par arcs (IV, p. 342, th. 1). Le groupe G = Aut$_X(E)$ est isomorphe à $\pi_1(X, x)$ ; il s’agit donc de démontrer que le groupe G est de présentation finie.

Comme X est compact, tout point $x$ de X possède un voisinage compact $K_x$ au-dessus duquel le revêtement E est trivialisable (TG, I, p. 65, corollaire). Comme X est localement connexe, tout $x\in X$ possède un voisinage ouvert $W_x$, connexe et contenu dans $K_x$. Soit F une partie finie de X telle que les $W_x$, pour $x\in F$, recouvrent X. Soit $n$ le cardinal de F.

Montrons par récurrence qu’il existe, pour tout entier $k$ tel que 1 $\leqslant k\leqslant n$, une partie A de cardinal $k$ contenue dans F et, pour $x\in A$, une section $s_x$ de $p$ au-dessus de $K_x$, telles que la réunion des $s_x(W_x)$, pour $x\in A$, soit une partie connexe de E. L’assertion est vraie pour $k= 1$. Supposons-la vraie pour un entier $k$ tel que $1\leqslant k < n$ et démontrons qu’elle est vraie pour $k+ 1$. Soit A une partie de F de cardinal $k$ et, pour tout $x\in A$, soit $s_x$ une section de E au-dessus de $K_x$, telles que $\bigcup_{x\in A}s_x(W_x)$ soit connexe. Les ouverts $\bigcup_{x\in A}W_x$ et $\bigcup_{x\in F-A}W_x$ ne sont pas vides et recouvrent X ; leur intersection n’est donc pas vide, car X est connexe. Il existe ainsi $x\in A,y\in F-A$ et $z\in W_x\cap W_y$. Posons $A'= A\cup \{y\}$ et choisissons une section $s_y$ de E au-dessus de $K_y$ telle que $s_y(z) =s_x(z)$. Les ouverts connexes $\bigcup_{p\in A}s_p(W_p)$ et $s_y(W_y)$ ne sont pas vides et ont un point commun ; leur réunion est donc connexe. Cela démontre l’assertion pour $k+ 1$. Par récurrence, elle est donc vraie pour tout entier $k\in \{1, . . . , n\}$.

Appliquons ce qui précède à $k=n$; il existe alors, pour tout $x\in F$, une section $s_x$ de E au-dessus de $K_x$, de sorte que $U =\bigcup_{x\in F}s_x(W_x)$ soit un ouvert connexe de E. On a $p(U) = X$. Comme le groupe G opère transitivement dans chaque fibre du revêtement E, on a GU = E.

L’adhérence de U est contenue dans $\bigcup_{x\in F}s_x(K_x)$ donc est compacte. L’opération de G dans E est propre (I, p. 96, cor. 1), donc l’ensemble des couples $(g, x)\in G\times E$ tels que $x\in \overline{U}$ et $gx\in \overline{U}$ est une partie compacte de $G\times E$ (TG, I, p. 77, prop. 6). Il s’ensuit que l’ensemble des $g\in G$ tels que $\overline{U}\cap g\overline{U}=\not\emptyset$ est compact. Comme il est discret, il est fini. A fortiori, l’ensemble des $g\in G$ tels que $U\cap gU=\not\emptyset$ est fini. Le théorème découle ainsi de la prop. 10 de I, p. 136.

Soit $\mathscr{O}$ l’ensemble des parties ouvertes U de X telles que $A\cap U$ soit maigre. L’ensemble des parties de $\mathscr{O}$ formées d’ouverts deux à deux disjoints, ordonné par l’inclusion, est inductif. Soit $\mathfrak{U}$ un élément maximal ; il en existe d’après E, III, p. 20, th. 2.

Soit O la réunion des ouverts de X appartenant à $\mathfrak{U}$. Pour tout ouvert $U\in \mathfrak{U}$, soit $(B_{U,n})$ une suite de parties rares de U dont $A\cap U$ soit la réunion. Pour tout entier $n$, la réunion $B_n$ des parties $B_{U,n}$, pour U parcourant $\mathfrak{U}$, est rare relativement à O (TG, IX, p. 52, prop. 1). D’après TG, IX, p. 53, prop. 2, $B_n$ est une partie rare de X, car O est ouvert dans X. Par conséquent, l’ensemble $A\cap O$, égal à la réunion des $B_n$, est une partie maigre de X.

Soit F le complémentaire de O. C’est une partie fermée de X ; démontrons qu’elle est d’intérieur vide. Dans le cas contraire, soit $x$ un point intérieur de F. Par hypothèse, il existe un voisinage ouvert V de $x$, qu’on peut supposer contenu dans F, tel que $A\cap V$ soit maigre. Alors V est disjoint des ouverts de X appartenant à $\mathfrak{U}$ et $\mathfrak{U}\cup \{V\}$ est un ensemble d’ouverts deux à deux disjoints appartenant à $\mathscr{O}$, ce qui contredit la maximalité de $\mathfrak{U}$. La relation

entraîne alors que A est maigre, ce qu’il fallait démontrer.

Soit X un espace topologique.

Rappelons (TG, IX, p. 69) qu’une partie A de X est dite approchable s’il existe un ouvert U de X tel que $U\cap \complement A$ et $A\cap \complement U$ soient maigres dans X. L’ensemble des parties approchables de X est une tribu qui contient la tribu borélienne (TG, IX, p. 69, lemme 8 et sa démonstration). Une partie maigre est approchable.

Pour toute partie A de X, soit D(A) l’ensemble des points $x\in X$ tels que pour tout voisinage V de $x,A\cap V$ ne soit pas maigre. On pose aussi $D^*(A) = A\cup D(A)$.

a) L’ensemble D(A) est fermé dans X ; son complémentaire est le plus grand ouvert U de X tel que $A\cap U$ soit un ensemble maigre.

b) Pour que A soit maigre, il faut et il suffit que D(A) soit vide.

c) L’ensemble $D^*(A)$ est approchable.

d) Pour tout ensemble approchable B de X contenant A, $D^*(A)\cap$ $\complement B$ est maigre.

Soit U la réunion des ouverts V de X tels que $A\cap V$ soit maigre. Pour qu’un point $x$ appartienne à U, il faut et il suffit qu’il possède un voisinage V tel que $A\cap V$ soit maigre. On a ainsi $U =\complement D(A)$ et D(A) est donc une partie fermée de X. Par construction, le sous-espace U possède un recouvrement par des parties ouvertes dont l’intersection avec A est maigre. D’après le lemme 1, appliqué à l’espace topologique U et au sous-ensemble $A\cap U$, $A\cap U$ est maigre dans U, donc aussi dans X. Cela démontre l’assertion a), car, par construction, tout ouvert V de X tel que $A\cap V$ soit maigre est contenu dans U.

L’assertion b) en découle immédiatement.

c) On a $D^*(A) = A\cup D(A) = (A\cap U)\cup D(A)$. L’ensemble D(A) est fermé, donc approchable (IV, p. 361) ; la partie maigre $A\cap U$ l’est aussi. Par suite, $D^*(A)$ est approchable (loc. cit.).

d) Soit B une partie approchable de X qui contient A. Son complémentaire $\complement B$ est alors une partie approchable de X (loc. cit.) et il existe donc un ouvert V de X tel que $V\cap B$ et $\complement V\cap \complement B$ soient maigres. Comme $A\subset B$, $V\cap A$ est encore maigre, d’où $V\subset U$. Puisque $\complement U\cap \complement B$ est contenu dans $\complement V\cap \complement B$, c’est aussi une partie maigre de X. Finalement, les inclusions

démontrent que $D^*(A)\cap \complement B$ est une partie maigre de X.

Soit S un sous-espace souslinien de X. Par définition, il existe un espace métrique complet de type dénombrable P et une application continue et surjective $g$ de P dans S. D’après TG, IX, p. 64, lemme 3, il existe un criblage $C = (C_n, p_n, \varphi_n)_{n\in\mathbf{N}}$ de l’espace métrique P.

Pour tout entier $n$ et tout $c\in C_n$, notons $F_n(c)$ l’image de l’ensemble $\varphi_n(c)$ par $g$; posons aussi $F^*_n(c) = D^*(F_n(c))$ et

Pour tout $c\in C_n,F^*_n(c)$ est approchable (IV, p. 361, lemme 2, c)). Comme $C_{n+1}$ est dénombrable, la réunion des parties approchables $F^*_{n+1}(c')$, pour $c'$ parcourant $\overset{-1}{p_{n}}(c)$, est encore une partie approchable de X. Elle contient la réunion des $F_{n+1}(c')$ qui est égale à $F_n(c)$. Par suite (loc. cit., d)), $G_n(c)$ est une partie maigre de X. La réunion G des parties $G_n(c)$, pour $n\in \mathbf{N}$ et $c\in C_n$, est donc une partie maigre de X.

Soit $c_0\in C_0$ et soit $x$ un élément de $F^*_0(c_0)\cap \complement G$ ; démontrons que $x\in F_0(c_0)$. Puisque $x\notin G_0(c_0)$ et que $x\in F^*_0(c_0)$, il existe $c_1\in \overset{-1}{p_{0}}(c_0)$ tel que $x\in F^*_1(c_1)$, d’après la relation (1). Par récurrence, il existe un élément $c= (c_n)_n$ de $\prod_nC_n$ tel que, pour tout entier $n\in \mathbf{N}$, on ait $x\in F^*_n(c_n)$ et $p_n(c_{n+1}) =c_n$.

Les parties $\varphi_n(c_n)$ forment une base d’un filtre de Cauchy dans P; ce filtre converge vers un point $p$ de P, puisque P est complet. L’image de ce filtre par $g$ est un filtre F sur X, de base l’ensemble des $F_n(c_n)$ pour $n\in \mathbf{N}$, qui converge vers $g(p)$. Comme $F^*_n(c_n)$ est contenu dans $\overline{F_n(c_n)}$ et que $x$ appartient à chacun des $F_n(c_n),x$ est un point adhérent à F, donc $x=g(p)$ car l’espace X est séparé (TG, I, p. 52, prop. 1). Le point $p$ appartient à $\overline{\varphi_1(c_1)}$, donc à $\varphi_0(c_0)$. Par suite, $x\in F_0(c_0)$.

Par conséquent, l’ensemble $F^*_0(c_0)$ - $F_0(c_0)$ est contenu dans G. C’est ainsi une partie maigre de X, donc aussi une partie approchable. Puisque $F_0(c_0) = F^*_0(c_0)$ - $(F^*_0(c_0)$ - $F_0(c_0))$ et que $F^*_0(c_0)$ est approchable, $F_0(c_0)$ est approchable, car les parties approchables de X forment une tribu. Comme $C_0$ est dénombrable, l’ensemble S qui est la réunion des $F_0(c_0)$, pour $c_0\in C_0$, est encore approchable.

Pour tout couple $(j_1, j_2)$ d’éléments distincts de I, l’ensemble des familles $(x_i)\in X^I$ tels que $(x_{j_1}, x_{j_2})\in O$ est un ouvert dense de $X^I$. L’intersection Ω de ces ouverts, lorsque $(j_1, j_2)$ parcourt l’ensemble fini des couples d’éléments distincts de I est donc un ouvert dense de $X^I$. Par suite, $\Omega \cap \prod_{i\in I}U_i$ est un ouvert non vide de $X^I$, donc contient un ouvert de $X^I$ de la forme $\prod_{i\in I}V_i$, où pour tout $i\in I$, $V_i$ est une partie ouverte, non vide, de $U_i$. Cela démontre le lemme.

Munissons l’espace P d’une distance $d$ compatible avec sa topologie pour laquelle il est complet. Soit $(A_n)_{n\in\mathbf{N}}$ une suite croissante de parties fermées de $P\times P$, d’intérieurs vides, telles que le graphe $\Gamma_R$ de la relation R soit contenue dans la réunion des $A_n$.

Soit $\mathscr{O}$ l’ensemble des parties ouvertes non vides de P. Nous allons construire par récurrence une suite $(f_n)_{n\in\mathbf{N}}$, où pour tout $n,f_n$ est une application de $\{0,1\}^n$ dans $\mathscr{O}$, vérifiant les propriétés suivantes :

(i) Pour tout $n\geqslant 1$, tout $x\in \{0,1\}^{n-1}$ et tout $t\in \{0,1\}$, l’adhérence de l’ouvert $f_n(x, t)$ est contenue dans $f_{n-1}(x)$ ;

(ii) Pour tout $x\in \{0,1\}^n$, on a diam($f_n(x)$)$\leqslant 2^{-n}$;

(iii) Pour tout $n\geqslant 1$ et tout couple $(x, x')$ d’éléments distincts de $\{0,1\}^n,f_n(x)\times f_n(x')$ ne rencontre pas $A_{n-1}$.

On choisit un ouvert non vide U de X de diamètre $\leqslant 1$ et on définit $f_0$ comme l’application constante d’image $\{U\}$. Supposons les applications $f_0, . . . , f_n$ construites.

Soit $p:\{0,1\}^{n+1}\rightarrow \{0,1\}^n$ l’application définie par $p(x_0, . . . , x_n) =$ $(x_0, . . . , x_{n-1})$. D’après le lemme 3 ci-dessus, appliqué à la famille des ouverts $(f_n(p(x)))$ pour $x\in \{0,1\}^{n+1}$ et à l’ouvert dense $\complement A_n$ de $P\times P$, il existe une famille $(g(x))_{x\in \{0,1\}^{n+1}}$ d’ouverts non vides de P telle que $g(x)\subset f_n(p(x))$ pour tout $x$ et telle que $(g(x)\times g(x'))\cap A_n$ soit vide pour tout couple $(x, x')$ d’éléments distincts de $\{0,1\}^{n+1}$. On définit alors l’application $f_{n+1}$ en choisissant, pour chaque élément $x\in \{0,1\}^{n+1}$, une partie ouverte et non vide de $g(x)$ dont le diamètre est $\leqslant 2^{-n-1}$ et dont l’adhérence est contenue dans $g(x)$.

Pour tout élément $x= (x_n)_{n\in\mathbf{N}}$ de $\{0,1\}^{\mathbf{N}}$, la suite d’ensembles $(f_n(x_0, . . . , x_{n-1}))_{n\in\mathbf{N}}$ est une suite décroissante de parties ouvertes de X dont chacune contient l’adhérence de la suivante et dont le diamètre tend vers 0 ; l’intersection de cette suite d’ensembles est donc réduite à un point (TG, II, p. 15) que l’on note $f(x)$. Si deux points $x,x'$ de $\{0,1\}^{\mathbf{N}}$ vérifient $x_i=x'_i$ pour $i\leqslant n$, on a $d(f(x), f(x'))\leqslant 2^{-n}$. Par conséquent, l’application $f:\{0,1\}^{\mathbf{N}}\rightarrow P$ est continue. Soient $x$ et $x'$ des éléments distincts de $\{0,1\}^{\mathbf{N}}$. Pour $n\in \mathbf{N}$ tel que $(x_0, . . . , x_n)=\not$ $(x'_0, . . . , x'_n)$, l’ouvert $f_{n+1}(x_0, . . . , x_n)\times f_{n+1}(x'_0, . . . , x'_n)$ est disjoint de $A_n$, par définition de $f_{n+1}$, donc le couple $(f(x), f(x'))$ n’appartient pas à $A_n$. Il en résulte que $f(x)$ et $f(x')$ ne sont pas équivalents pour la relation R. Par conséquent, $f$ est injective et son image rencontre chaque classe d’équivalence suivant R en au plus un point. La proposition est ainsi démontrée.