La condition est nécessaire d’après la proposition 3 de TG, III, p. 6. Inversement, supposons que $p$ induise un homéomorphisme d’un voisinage ouvert V de l’élément neutre $e$ de G sur un voisinage $V'$ de l’élément neutre de $G'$. L’application $p$ est alors continue (TG, III, p. 15, prop. 23) et ouverte (TG, III, p. 16, prop. 24). L’image H de $p$ est un sous-groupe de $G'$ contenant V, donc ouvert et fermé dans $G'$ (TG, III, p. 7, corollaire). Soit N le noyau de $p$; on a $N\cap V =\{e\}$, donc N est discret (loc. cit., prop. 5). Par suite, $p$ fait de G un revêtement de H, principal de groupe N (I, p. 100, cor. 3 du th. 1). Comme H est ouvert et fermé dans $G'$, le $G'$-espace $(G, p)$ est un revêtement.

Si $G'$ est un groupe topologique et si l’application $f$ est continue, un tel homomorphisme $\varphi$ est continu.

On peut supposer que U est ouvert et contenu dans V. Notons A l’ensemble des $x\in V$ satisfaisant la condition du lemme. Si $x\in A$ et si $y\in xU\cap V$, alors $y\in A$, d’où AU $\cap V\subset A$ ; cela montre que A est ouvert dans V. Soit $x\in V$ tel que $xU^{-1}\cap A=\not\emptyset$; on a alors $x\in$ AU$\cap V$, donc $x\in A$. Par conséquent, si $x\in V$ et $x\notin A,xU^{-1}\cap A =\emptyset$ et A est fermé dans V. Comme $e\in A$ et que V est connexe, il en résulte que A = V.

Démontrons maintenant la proposition. Notons $j$ l’application $g\mapsto$ $(g, f(g))$ de V dans $G\times G'$ et soit H le sous-groupe de $G\times G'$ engendré par $j(V)$.

Soit U un voisinage de $e$ dans G, contenu dans V. Soit $x\in V$ ; d’après le lemme 1, il existe $u_1, . . . , u_n\in U$ tels que $x=u_1. . . u_n$ et tels que $u_1. . . u_k\in V$ pour tout entier $k$ tel que $1\leqslant k\leqslant n$. Par récurrence, on a $f(u_1. . . u_k) =f(u_1). . . f(u_k)$ pour tout entier $k,1\leqslant k\leqslant n$. En particulier, $j(x)$ appartient au sous-groupe engendré par $j(U)$. Il en résulte que H est engendré par $j(U)$.

Soit $\mathscr{B}$ l’ensemble des parties de H de la forme $j(U)$, où U est un voisinage de $e$ dans V. Montrons qu’il existe une unique topologie sur H, compatible avec sa structure de groupe, pour laquelle $\mathscr{B}$ est une base du filtre des voisinages de l’élément neutre. Pour cela, il suffit de démontrer que l’ensemble $\mathscr{B}$ satisfait aux conditions (GV$'_I$), (GV$'_{II}$) et (GV$'_{III}$) de III, p. 4.

Soit donc U un voisinage de $e$ dans G, contenu dans V ; il existe un voisinage $U'$ de $e$ tel que $U'\cdot U'\subset U$. Pour tout couple $x, y$ de points de $U'$, on a $xy\in V$ et $f(xy) =f(x)f(y)$. Par suite, $j(U')\in \mathscr{B}$ et $j(U')\cdot j(U')\subset j(U)$. Cela montre que la condition (GV$'_I$) est vérifiée.

L’ensemble $U''= V\cap U^{-1}$ est alors un voisinage de $e$ dans V et, pour $x\in U''$, on a $x^{-1}\in U$ et $f(x^{-1}) =f(x)^{-1}$. Par suite, $j(U'')^{-1}\subset j(U)$, ce qui montre la condition (GV$'_{II}$).

Fixons enfin un voisinage U de $e$ dans V tel que $U = U^{-1}$ et $U^3\subset V$. Soit W un voisinage de $e$ dans U et soit $h= (g, f(g))$ un élément de $j(U)$. Il existe un voisinage $W'$ de $e$ contenu dans W tel que $gW'g^{-1}\subset W$. Alors, $j(W')\in \mathscr{B}$ et $hj(W')h^{-1}\subset j(W)$, car on a $f(gxg^{-1}) =f(g)f(x)f(g^{-1})$, pour $x\in W'$.

Soit $h\in H$. Comme U est un voisinage de $e$ contenu dans V$,j(U)$ engendre H ; puisque U est symétrique, il existe des éléments $u_1, . . . , u_n$ dans U tels que $h=j(u_1). . . j(u_n)$. Par récurrence sur $n$, il existe un voisinage $W'$ de $e$ contenu dans W tel que $hj(W')h^{-1}\subset j(W)$. Par suite, la condition (GV$'_{III}$) est vérifiée.

Munissons alors le groupe G de cette topologie.

Notons $p: H\rightarrow$ G la restriction à H de la première projection $G\times G'\rightarrow G$. C’est un homomorphisme de groupes. Pour tout voisinage U de $e$ contenu dans V, l’ensemble $\overset{-1}{p}(U)$ contient le voisinage $j(U)$ de l’élément neutre de H, donc $p$ est un homomorphisme continu de groupes topologiques. Pour tout voisinage U de $e$ contenu dans V, on a $p(j(U)) = U$, donc $p$ est une application ouverte. Comme G est connexe, $p$ est surjective. Son noyau est discret car il ne rencontre $j(V)$ qu’en l’élément neutre. Il résulte alors du corollaire 3 (I, p. 100) que le G-espace $(H, p)$ est un revêtement.

Soit $\varphi$ la restriction à H de la seconde projection $G\times G'\rightarrow G'$. Si $g\in V$, on a $(g, f(g)) =j(g)\in j(V)$ et $\varphi (g, f(g)) =f(g)$, si bien que $\varphi (y) =f(p(y))$ pour $y\in j(V)$.

Supposons de plus que $G'$ soit un groupe topologique et que l’application $f$ soit continue en $e$. Alors, l’homomorphisme $\varphi$ est continu en l’élément neutre de H, donc est continu (TG, III, p. 15, prop. 23).

Le groupe G est connexe. Soient H$,\varphi$ et $p$ comme dans la proposition 2. Comme G est simplement connexe, H est un revêtement trivialisable de G (I, p. 124, déf. 3) ; comme H est connexe et non vide, l’application $p$ est un isomorphisme de groupes topologiques. Posons $h=\varphi \circ p^{-1}$; l’application $h$ est un homomorphisme de groupes et il existe un voisinage ouvert U de l’élément neutre $e$ de G contenu dans V tel que $f|U =h|U$. Il résulte du lemme 1 que $f$ et $h$ coïncident sur V. Autrement dit, l’application $h$ prolonge l’application $f$.

Si $G'$ est un groupe topologique et si l’application $f$ est continue, l’homomorphisme $\varphi$ est continu donc $h$ l’est aussi.

Démontrons l’unicité d’un tel prolongement. L’ensemble des points de G où coïncident deux homomorphismes de G dans $G'$ est un sous-groupe de G. Comme le groupe G est connexe, tout sous-groupe de G contenant un voisinage de l’élément neutre est égal à G (TG, III, p. 8, prop. 6). L’unicité de $h$ en résulte.

Soient G et $G'$ des groupes topologiques localement connexes, soient V et $V'$ des voisinages connexes de l’élément neutre de G et de $G'$ respectivement et soit $f: V\rightarrow V'$ un homéomorphisme qui est un isomorphisme local de G à $G'$. D’après le corollaire 1, il existe un unique homomorphisme de groupes continu $\varphi : G\rightarrow G'$ qui prolonge $f$ et un unique homomorphisme de groupes continu $\varphi ': G'\rightarrow$ G qui prolonge $f^{-1}$. Les homomorphismes $\varphi '\circ \varphi$ et Id$_G$ coïncident sur un voisinage de $e$ dans G, donc sont égaux, car G est connexe. De même, $\varphi \circ \varphi '=$ Id$_{G'}$, d’où le corollaire.

Soit $F(V,\mathbf{r})$ le groupe quotient du groupe libre F(V) par le plus petit sous-groupe distingué contenant les éléments $xyz^{-1}$, où $(x, y, z)\in V\times$ $V\times V$ et $xy=z$ (A, I, p. 86). Notons $f: V\rightarrow F(V,\mathbf{r})$ et $g: F(V,\mathbf{r})\rightarrow G$ les applications canoniques. Par construction, l’application $f$ est un homomorphisme local de G dans $F(V,\mathbf{r})$. D’après le corollaire 1, il existe un unique homomorphisme de groupes $\overline{f}: G\rightarrow F(V,\mathbf{r})$ prolongeant $f$. Comme le groupe $F(V,\mathbf{r})$ est engendré par $f(V)$, l’homomorphisme $\overline{f}$ est surjectif. Pour $x\in V$, on a $g(\overline{f}(x)) =g(f(x)) =x$; comme V engendre G$,g\circ \overline{f}=$ Id$_G$, ce qui démontre que $\overline{f}$ est injectif. C’est donc un isomorphisme.

où $\sim$ désigne la relation d’homotopie stricte. La loi de composition du groupe $\pi_1(X, e)$ est l’homomorphisme composé de l’isomorphisme canonique $\pi_1(X, e)\times \pi_1(X, e)\rightarrow \pi_1(X\times X,(e, e))$ (III, p. 297, corollaire) et de l’homomorphisme $\pi_1(m,(e, e))$ de $\pi_1(X\times X,(e, e))$ dans $\pi_1(X, e)$. Le groupe $\pi_1(X, e)$ est commutatif.

Soit $\mu:\pi_1(X, e)\times \pi_1(X, e)\rightarrow \pi_1(X, e)$ l’homomorphisme de groupes composé de l’isomorphisme canonique de $\pi_1(X, e)\times \pi_1(X, e)$ sur $\pi_1(X\times$ $X,(e, e))$ et de l’homomorphisme $\pi_1(m,(e, e))$. Il s’agit de démontrer que l’on a

pour tous $\gamma ,\gamma '\in \pi_1(X, e)$. Compte tenu de la remarque 2 de III, p. 297, on a :

Soit $c\in \Omega_e(X)$ un lacet de classe $\gamma$, notons $m_1: X\rightarrow X$ l’application définie par $m_1(x) =m(x, e)$ ; alors, $\mu(\gamma , \varepsilon_e)$ est la classe de $m_1\circ c$. Par définition d’un espace de Hopf, les applications pointées en $e,m_1$ et Id$_X$, ont même classe d’homotopie pointée en $e$. Par suite, les lacets en $e,m_1\circ c$ et $c$ sont strictement homotopes (III, p. 296, cor. 1 de la prop. 3) et l’on a $\mu(\gamma , \varepsilon_e) =\gamma$. On démontre de façon analogue que l’on a $\mu(\varepsilon_e, \gamma ') =\gamma '$. La relation (1) résulte alors de la relation (2).

a) Le revêtement $X'$ est galoisien et le groupe de ses automorphismes est commutatif.

b) Il existe une loi de composition continue $m': X'\times X'\rightarrow X'$ et une seule telle que l’on ait $p\circ m'=m\circ (p, p)$ et $m'(e', e') =e'$. Muni de cette loi de composition, l’espace pointé $(X', e')$ est un espace de Hopf.

c) Munie de la loi de composition induite par $m'$, la fibre $X'_e$ est un groupe d’élément neutre $e'$. L’application de $\pi_1(X, x)$ dans $X'_e$ donnée par $\gamma \mapsto e'\cdot \gamma$ est un homorphisme de groupes surjectif de noyau $p_*(\pi_1(X', e'))$. L’application $g\mapsto g(e')$ est un isomorphisme du groupe Aut$_X(X')$ sur le groupe $X'_e$.

a) Le groupe $\pi_1(X, e)$ est commutatif (prop. 3). Comme le revêtement $X'$ de X est connexe, c’est alors un revêtement galoisien et le groupe Aut$_X(X')$ est isomorphe au groupe quotient $\pi_1(X, e)/p_*(\pi_1(X', e'))$ (III, p. 312, corollaire 4 de la proposition 2) ; ce groupe est commutatif.

b) Notons $q: X'\times X'\rightarrow X$ l’application $m\circ (p, p)$. L’application $m'$ requise est un relèvement continu de $q$ à $X'$ tel que $m'(e', e') =e'$. L’espace $X'\times X'$ est localement connexe par arcs ; il suffit donc, pour démontrer l’existence d’un tel relèvement continu, de vérifier que $q_*(\pi_1(X'\times X',(e', e')))$ est contenu dans $p_*(\pi_1(X', e'))$ (III, p. 308, prop. 1). D’après la prop. 3, l’application $\pi_1(m,(e, e))$ s’identifie à la loi de composition du groupe $\pi_1(X, e)$ lorsqu’on identifie $\pi_1(X\times X,(e, e))$ à $\pi_1(X, e)\times \pi_1(X, e)$. Le groupe $q_*(\pi_1(X'\times X',(e', e')))$ est donc égal au groupe $p_*(\pi_1(X', e'))$, d’où l’existence de $m'$. Comme $X'\times X'$ est connexe, l’unicité de $m'$ résulte de I, p. 34, corollaire 1 de la prop. 11.

Démontrons que l’application $m'$ munit l’espace pointé $(X', e')$ d’une structure d’espace de Hopf. Soit $m_1: X\rightarrow X$ l’application $g\mapsto m(g, e)$ et soit $\sigma_1: X\times \mathbf{I}\rightarrow X$ une homotopie pointée en $x$ reliant $m_1$ à Id$_X$. Posons $\tau =\sigma_1\circ (p$, Id$_{\mathbf{I}}): X'\times \mathbf{I}\rightarrow X$. L’application $m'_1: X'\rightarrow X'$ définie par $h\mapsto m'(h, e')$ relève l’application $\tau (\cdot ,0)$; soit $\tau ': X'\times \mathbf{I}\rightarrow X'$ le relèvement de $\tau$ qui est une homotopie d’origine $m'_1($III, p. 301, prop. 2). L’application $t\mapsto \tau '(e', t)$ est un relèvement à $X'$ de l’application constante $t\mapsto e$; comme $\tau '(e',0) =e'$, on a donc $\tau '(e', t) =e'$ pour tout $t\in \mathbf{I}$. L’application $\tau '(\cdot ,1)$ est alors un relèvement à $X'$ de l’application $p$ qui applique $e'$ sur $e'$. Comme $X'$ est connexe, Id$_{X'}$ est l’unique X-morphisme de $X'$ dans lui-même qui fixe le point $e'$; on a donc $\tau '(\cdot ,1) =$ Id$_{X'}$. Cela montre que $\tau '$ est une homotopie pointée en $e'$ qui relie l’application $m'_1$ à l’application Id$_{X'}$. De même, il existe une homotopie pointée en $e'$ reliant l’application $m'_2:h\mapsto m'(e', h)$ à l’application Id$_{X'}$. Ceci prouve que l’espace pointé $(X', e')$, muni de la loi de composition $m'$, est un espace de Hopf.

c) Comme $X'$ est un revêtement connexe de X, l’application orbitale de $e'$ induite par l’opération de $\pi_1(X, e)$ sur $X'_e$ est surjective et induit une bijection de $\pi_1(X, e)/p_*(\pi_1(X', e'))$ sur $X'_e($III, p. 305, théorème 1).

Soient $c$ et $d$ des lacets de X en $e$, soient $\gamma$ et $\delta \in \pi_1(X, e)$ leurs classes. Soient $c'$ et $d'$ les chemins d’origine $e'$ dans $X'$ qui relèvent $c$ et $d$. On a $e'\cdot \gamma =c'(1)$ et $e'\cdot \delta =d'(1)$ (III, p. 304). D’après la proposition 3 de IV, p. 374, le lacet $m\circ (c, d)$ est strictement homotope au lacet $c*d$; on a donc $e'\cdot (\gamma \delta ) =e'\cdot (m\circ (c, d))$. Or, le chemin $m'\circ (c', d')$ est un relèvement d’origine $e'$ du chemin $m\circ (c, d)$ ; on a donc

L’application $\gamma \mapsto e'\cdot \gamma$ est donc un homomorphisme de $\pi_1(X, e)$ dans l’ensemble $X'_e$ muni de la loi de composition induite par $m'$. Par suite, $X'_e$ est un groupe pour la loi de composition induite par $m'$ et l’application orbitale de $e'$ est un isomorphisme du groupe quotient sur $\pi_1(X, e)/p_*(\pi_1(X', e'))$ sur $X'_e$.

La dernière partie de l’assertion c) résulte alors du corollaire 3 de III, p. 311.

a) Si $m$ est une loi de composition associative ( resp. commutative), il en est de même de $m'$.

b) Si $e$ est élément neutre à droite ( resp. à gauche) pour la loi $m$, alors $e'$ est élément neutre à droite ( resp. à gauche) pour la loi $m'$.

c) Si X est un groupe topologique, $m$ sa loi de composition et $e$ son élément neutre, la loi de composition $m'$ munit $X'$ d’une structure de groupe compatible avec la topologie de $X'$ dont $e'$ est l’élément neutre. L’application $p: X'\rightarrow X$ est un homomorphisme de groupes dont le noyau est discret et contenu dans le centre de $X'$.

a) Supposons que la loi $m$ est associative. Alors les applications de $X'\times X'\times X'$ dans X qui appliquent $(h_1, h_2, h_3)$ sur $m(p(h_1), m(p(h_2), p(h_3)))$ et $m(m(p(h_1), p(h_2)), p(h_3))$ respectivement sont égales. Les applications $(h_1, h_2, h_3)\mapsto m'(h_1, m'(h_2, h_3))$ et $(h_1, h_2, h_3)\mapsto m'(m'(h_1, h_2), h_3)$ de $X'\times X'\times X'$ dans $X'$ en sont des relèvements continus qui coïncident au point $(e', e', e')$. Comme $X'\times X'\times X'$ est connexe, elles sont égales (I, p. 34, cor. 1 de la prop. 11), ce qui montre que la loi $m'$ est associative.

Supposons maintenant la loi $m$ commutative ; les applications $(h_1, h_2)\mapsto m'(h_1, h_2)$ et $(h_1, h_2)\mapsto m'(h_2, h_1)$ sont des relèvements continus à $X'$ de l’application $(h_1, h_2)\mapsto m(p(h_1), p(h_2))$ qui coïn-cident au point $(e', e')$. Comme $X'\times X'$ est connexe, elles sont égales (loc. cit.) et la loi $m'$ est commutative.

Si $e$ est élément neutre à droite (resp. à gauche) pour la loi $m$, l’application $h\mapsto m'(h, e')$ (resp. $h\mapsto m'(e', h)$) de $X'$ dans $X'$ est un X-morphisme de revêtements qui coïncide avec Id$_{X'}$ au point $e'$, donc en tout point de $X'$, puisque $X'$ est connexe (loc. cit.), d’où b).

Démontrons enfin c). Supposons que X soit un groupe topologique. D’après ce qui précède, la loi $m'$ est associative et $e'$ en est un élément neutre. Notons $i: X\rightarrow X$ l’application $g\mapsto g^{-1}$. Elle est continue (TG, III, p. 1) et l’homomorphisme $\pi_1(i, e):\pi_1(X, e)\rightarrow \pi_1(X, e)$ n’est autre que l’application $\gamma \mapsto \gamma^{-1}($IV, p. 374, prop. 3). Par suite, le sous-groupe $(i\circ p)_*(\pi_1(X', e'))$ est égal à $p_*(\pi_1(X', e'))$. D’après la prop. 1 de III, p. 308, il existe donc une application continue $i': X'\rightarrow X'$ telle que $p\circ i'=i\circ p$ et $i'(e') =e'$. Les applications $h\mapsto m'(h, i'(h))$ et $h\mapsto$ $m'(i'(h), h)$ de $X'$ dans $X'$ sont des relèvements à $X'$ de l’application constante d’image $e$ de $X'$ dans X. Elles sont donc constantes et leur image est $e'=m'(e', e')$. Ainsi, tout élément $h$ de $X'$ est inversible, d’inverse $i'(h)$, ce qui montre que $X'$, muni de la loi de composition $m'$, est un groupe. Par construction de la loi $m'$, l’application $p: X'\rightarrow X$ est un homomorphisme de groupes. Comme les applications $m'$ et $i'$ sont continues, la structure de groupe de $X'$ est compatible avec sa topologie (TG, III, p. 1). La fibre $\overset{-1}{p}(e)$ est un sous-groupe discret de $X'$ qui est contenu dans le centre de $X'($I, p. 100, cor. 3) et X est isomorphe au groupe topologique quotient $X'/\overset{-1}{p}(e)$.

a) L’espace $\widetilde{G}$ est simplement connexe et simplement connexe par arcs. Muni de l’application $p$, l’espace pointé $(\widetilde{G},\widetilde{e})$ est un revêtement universel de l’espace pointé $(G, e)$.

b) Le noyau N de $p$ est un sous-groupe discret de $\widetilde{G}$, contenu dans le centre de $\widetilde{G}$. L’homomorphisme $N\rightarrow$ Aut$_G(\widetilde{G})$ qui, à $n\in N$, associe la translation à droite dans $\widetilde{G}$, est un isomorphisme de groupes. L’homomorphisme de $\pi_1(G)$ dans N qui, à $\gamma \in \pi_1(G)$, associe l’unique élément $n$ de N tel que $\widetilde{e}\cdot \gamma =n$, est un isomorphisme de groupes.

c) Si $G'$ est un groupe topologique, d’élément neutre $e'$ et si $p': G'\rightarrow$ G est un homomorphisme de groupes qui fait de $G'$ un revêtement de G, l’unique application continue $u:\widetilde{G}\rightarrow G'$ telle que $u(\widetilde{e}) =e'$ et $p'\circ u=p$ est un homomorphisme de groupes. Muni de l’application $u,(\widetilde{G},\widetilde{e})$ est un revêtement universel de $(G', e')$.

D’après IV, p. 342, théorème 1, il existe un revêtement $(\widetilde{G}, p)$ de G, simplement connexe et simplement connexe par arcs, galoisien de groupe $\pi_1(G)^{\circ}$, et un point $\widetilde{e}$ de $\overset{-1}{p}(e)$ tel que le revêtement pointé $(\widetilde{G},\widetilde{e})$ soit un revêtement universel de $(G, e)$.

D’après IV, p. 375, prop. 4 et IV, p. 377, prop. 5, il existe sur l’espace $\widetilde{G}$ une unique structure de groupe compatible avec sa topologie pour laquelle $p$ soit un homomorphisme de groupes et $\widetilde{e}$ un élément neutre. Il résulte de la prop. 4 que le groupe $\widetilde{G}$ vérifie les assertions a) et b).

Démontrons l’assertion c). Soit $G'$ un groupe topologique et soit $p': G'\rightarrow G$ un homomorphisme de groupes qui fait de $G'$ un revêtement de G. Soit $e'$ l’élément neutre de $G'$. L’existence et l’unicité d’une application $u:\widetilde{G}\rightarrow G'$ telle que $p=p'\circ u$ et $u(\widetilde{e}) =e'$ résultent de ce que $(\widetilde{G},\widetilde{e})$ est un revêtement universel de l’espace pointé $(G, e)$. Comme les applications $p$ et $p'$ sont des homomorphismes de groupes surjectifs, $u$ est un homomorphisme de groupes. Muni de l’application $u,\widetilde{G}$ est un revêtement de $G'($I, p. 81, prop. 7), donc $(\widetilde{G},\widetilde{e})$ est un revêtement universel de $(G', e')$ (IV, p. 345, cor. 2 du th. 1).

Sous les hypothèses de la proposition, on dira, par abus, que $\widetilde{G}$ est un revêtement universel de G.