Điều kiện là cần thiết theo Mệnh đề 3 của TG, III, p. 6. Ngược lại, giả sử rằng $p$ cảm sinh một đồng phôi của một lân cận mở V của phần tử đơn vị $e$ của G lên một lân cận $V'$ của phần tử đơn vị của $G'$. Khi đó ánh xạ $p$ là liên tục (TG, III, p. 15, Prop. 23) và mở (TG, III, p. 16, Prop. 24). Ảnh H của $p$ là một nhóm con của $G'$ chứa V, do đó mở và đóng trong $G'$ (TG, III, p. 7, Hệ quả). Gọi N là hạt nhân của $p$; ta có $N\cap V =\{e\}$, do đó N là rời rạc (loc. cit., Prop. 5). Do đó, $p$ làm cho G là một phủ chính của H, với nhóm N (I, p. 100, Hệ quả 3 của Định lý 1). Vì H mở và đóng trong $G'$, không gian $G'$- $(G, p)$ là một phủ.

Nếu $G'$ là một nhóm tôpô và nếu ánh xạ $f$ là liên tục, một đồng cấu như vậy $\varphi$ là liên tục.

Có thể giả sử rằng U mở và được chứa trong V. Ký hiệu A là tập hợp các $x\in V$ thỏa mãn điều kiện của bổ đề. Nếu $x\in A$ và $y\in xU\cap V$, thì $y\in A$, do đó AU $\cap V\subset A$; điều này cho thấy A là mở trong V. Cho $x\in V$ sao cho $xU^{-1}\cap A=\not\emptyset$; khi đó $x\in$ AU$\cap V$, do đó $x\in A$. Do đó, nếu $x\in V$ và $x\notin A,xU^{-1}\cap A =\emptyset$ và A là đóng trong V. Vì $e\in A$ và V liên thông, suy ra A = V.

Bây giờ chứng minh mệnh đề. Cho $j$ là ánh xạ $g\mapsto$ $(g, f(g))$ của V vào $G\times G'$ và cho H là nhóm con của $G\times G'$ sinh bởi $j(V)$.

Cho U là một lân cận của $e$ trong G, được chứa trong V. Cho $x\in V$; theo bổ đề 1, tồn tại $u_1, . . . , u_n\in U$ sao cho $x=u_1. . . u_n$ và sao cho $u_1. . . u_k\in V$ với mọi số nguyên $k$ sao cho $1\leqslant k\leqslant n$. Theo quy nạp, ta có $f(u_1. . . u_k) =f(u_1). . . f(u_k)$ với mọi số nguyên $k,1\leqslant k\leqslant n$. Đặc biệt, $j(x)$ thuộc nhóm con sinh bởi $j(U)$. Suy ra H được sinh bởi $j(U)$.

Cho $\mathscr{B}$ là tập hợp các tập con của H có dạng $j(U)$, trong đó U là một lân cận của $e$ trong V. Ta hãy chỉ ra rằng tồn tại duy nhất một tôpô trên H, tương thích với cấu trúc nhóm của nó, sao cho $\mathscr{B}$ là một cơ sở của bộ lọc các lân cận của phần tử đơn vị. Vì vậy, chỉ cần chứng minh rằng tập hợp $\mathscr{B}$ thỏa mãn các điều kiện (GV$'_I$), (GV$'_{II}$) và (GV$'_{III}$) của III, p. 4.

Do đó, cho U là một lân cận của $e$ trong G, được chứa trong V; tồn tại một lân cận $U'$ của $e$ sao cho $U'\cdot U'\subset U$. Với mọi cặp $x, y$ các điểm của $U'$, ta có $xy\in V$ và $f(xy) =f(x)f(y)$. Do đó $j(U')\in \mathscr{B}$ và $j(U')\cdot j(U')\subset j(U)$. Điều này cho thấy điều kiện (GV$'_I$) được thỏa mãn.

Tập hợp $U''= V\cap U^{-1}$ khi đó là một lân cận của $e$ trong V và, với $x\in U''$, ta có $x^{-1}\in U$ và $f(x^{-1}) =f(x)^{-1}$. Do đó $j(U'')^{-1}\subset j(U)$, điều này cho thấy điều kiện (GV$'_{II}$).

Cuối cùng, ta cố định một lân cận U của $e$ trong V sao cho $U = U^{-1}$ và $U^3\subset V$. Gọi W là một lân cận của $e$ trong U và gọi $h= (g, f(g))$ là một phần tử của $j(U)$. Tồn tại một lân cận $W'$ của $e$ được chứa trong W sao cho $gW'g^{-1}\subset W$. Khi đó $j(W')\in \mathscr{B}$ và $hj(W')h^{-1}\subset j(W)$, vì ta có $f(gxg^{-1}) =f(g)f(x)f(g^{-1})$, với $x\in W'$.

Cho $h\in H$. Vì U là một lân cận của $e$ được chứa trong V$,j(U)$ sinh ra H; vì U đối xứng, tồn tại các phần tử $u_1, . . . , u_n$ trong U sao cho $h=j(u_1). . . j(u_n)$. Theo quy nạp theo $n$, tồn tại một lân cận $W'$ của $e$ được chứa trong W sao cho $hj(W')h^{-1}\subset j(W)$. Do đó, điều kiện (GV$'_{III}$) được thỏa mãn.

Sau đó, ta trang bị cho nhóm G tôpô này.

Ta ký hiệu bởi $p: H\rightarrow$ G hạn chế của phép chiếu thứ nhất $G\times G'\rightarrow G$ lên H. Đây là một đồng cấu nhóm. Với mọi lân cận U của $e$ được chứa trong V, tập hợp $\overset{-1}{p}(U)$ chứa lân cận $j(U)$ của phần tử đơn vị của H; do đó $p$ là một đồng cấu liên tục của các nhóm tôpô. Với mọi lân cận U của $e$ được chứa trong V, ta có $p(j(U)) = U$, do đó $p$ là một ánh xạ mở. Vì G liên thông, $p$ là toàn ánh. Hạt nhân của nó là rời rạc vì nó chỉ gặp $j(V)$ tại phần tử đơn vị. Khi đó suy ra từ Hệ quả 3 (I, p. 100) rằng không gian G $(H, p)$ là một phủ.

Gọi $\varphi$ là hạn chế của phép chiếu thứ hai $G\times G'\rightarrow G'$ lên H. Nếu $g\in V$, ta có $(g, f(g)) =j(g)\in j(V)$ và $\varphi (g, f(g)) =f(g)$, do đó $\varphi (y) =f(p(y))$ với $y\in j(V)$.

Hơn nữa, giả sử rằng $G'$ là một nhóm tôpô và ánh xạ $f$ liên tục tại $e$. Khi đó đồng cấu $\varphi$ liên tục tại phần tử đơn vị của H, và do đó là liên tục (TG, III, p. 15, Mệnh đề 23).

Nhóm G liên thông. Cho H$,\varphi$ và $p$ như trong mệnh đề 2. Vì G đơn liên, H là một phủ tầm thường hóa được của G (I, p. 124, định nghĩa 3); vì H liên thông và khác rỗng, ánh xạ $p$ là một đẳng cấu của các nhóm tôpô. Đặt $h=\varphi \circ p^{-1}$; ánh xạ $h$ là một đồng cấu nhóm và tồn tại một lân cận mở U của phần tử đơn vị $e$ của G được chứa trong V sao cho $f|U =h|U$. Từ bổ đề 1 suy ra rằng $f$ và $h$ trùng nhau trên V. Nói cách khác, ánh xạ $h$ mở rộng ánh xạ $f$.

Nếu $G'$ là một nhóm tôpô và nếu ánh xạ $f$ liên tục, thì đồng cấu $\varphi$ liên tục, do đó $h$ cũng vậy.

Hãy chứng minh tính duy nhất của một mở rộng như vậy. Tập hợp các điểm của G tại đó hai đồng cấu của G vào $G'$ trùng nhau là một nhóm con của G. Vì nhóm G liên thông, mọi nhóm con của G chứa một lân cận của phần tử đơn vị đều bằng G (TG, III, p. 8, mệnh đề 6). Tính duy nhất của $h$ được suy ra.

Cho G và $G'$ là các nhóm tôpô liên thông địa phương, cho V và $V'$ lần lượt là các lân cận liên thông của phần tử đơn vị của G và của $G'$, và cho $f: V\rightarrow V'$ là một đồng phôi là một đẳng cấu địa phương của G lên $G'$. Theo hệ quả 1, tồn tại một đồng cấu nhóm liên tục duy nhất $\varphi : G\rightarrow G'$ mở rộng $f$ và một đồng cấu nhóm liên tục duy nhất $\varphi ': G'\rightarrow$ G mở rộng $f^{-1}$. Các đồng cấu $\varphi '\circ \varphi$ và Id$_G$ trùng nhau trên một lân cận của $e$ trong G, do đó bằng nhau, vì G liên thông. Tương tự, $\varphi \circ \varphi '=$ Id$_{G'}$, do đó có hệ quả.

Cho $F(V,\mathbf{r})$ là nhóm thương của nhóm tự do F(V) bởi nhóm con chuẩn nhỏ nhất chứa các phần tử $xyz^{-1}$, trong đó $(x, y, z)\in V\times$ $V\times V$ và $xy=z$ (A, I, p. 86). Ta ký hiệu bởi $f: V\rightarrow F(V,\mathbf{r})$ và $g: F(V,\mathbf{r})\rightarrow G$ các ánh xạ chính tắc. Theo phép dựng, ánh xạ $f$ là một đồng cấu địa phương của G vào $F(V,\mathbf{r})$. Theo hệ quả 1, tồn tại một đồng cấu nhóm duy nhất $\overline{f}: G\rightarrow F(V,\mathbf{r})$ mở rộng $f$. Vì nhóm $F(V,\mathbf{r})$ được sinh bởi $f(V)$, đồng cấu $\overline{f}$ là toàn ánh. Với $x\in V$, ta có $g(\overline{f}(x)) =g(f(x)) =x$; vì V sinh G$,g\circ \overline{f}=$ Id$_G$, điều này chứng minh rằng $\overline{f}$ là đơn ánh. Do đó nó là một đẳng cấu.

trong đó $\sim$ ký hiệu quan hệ đồng luân ngặt. Luật hợp thành của nhóm $\pi_1(X, e)$ là đồng cấu thu được bằng cách lấy hợp thành của đẳng cấu chính tắc $\pi_1(X, e)\times \pi_1(X, e)\rightarrow \pi_1(X\times X,(e, e))$ (III, p. 297, hệ quả) và đồng cấu $\pi_1(m,(e, e))$ của $\pi_1(X\times X,(e, e))$ vào $\pi_1(X, e)$. Nhóm $\pi_1(X, e)$ là giao hoán.

Cho $\mu:\pi_1(X, e)\times \pi_1(X, e)\rightarrow \pi_1(X, e)$ là đồng cấu nhóm thu được bằng cách lấy hợp thành của đẳng cấu chính tắc của $\pi_1(X, e)\times \pi_1(X, e)$ lên $\pi_1(X\times$ $X,(e, e))$ và đồng cấu $\pi_1(m,(e, e))$. Ta phải chứng minh rằng

với mọi $\gamma ,\gamma '\in \pi_1(X, e)$. Theo Nhận xét 2 của III, p. 297, ta có:

Cho $c\in \Omega_e(X)$ là một đường kín thuộc lớp $\gamma$; ký hiệu $m_1: X\rightarrow X$ là ánh xạ xác định bởi $m_1(x) =m(x, e)$; khi đó $\mu(\gamma , \varepsilon_e)$ là lớp của $m_1\circ c$. Theo định nghĩa của một không gian Hopf, các ánh xạ giữ điểm gốc tại $e$, $m_1$ và Id$_X$, có cùng lớp đồng luân giữ điểm gốc tại $e$. Do đó, các đường kín tại $e$, $m_1\circ c$ và $c$, là đồng luân ngặt (III, p. 296, Hệ quả 1 của Mệnh đề 3) và ta có $\mu(\gamma , \varepsilon_e) =\gamma$. Tương tự, ta chứng minh được $\mu(\varepsilon_e, \gamma ') =\gamma '$. Quan hệ (1) suy ra từ quan hệ (2).

a) Phủ $X'$ là Galois và nhóm các tự đẳng cấu của nó là giao hoán.

b) Tồn tại một luật hợp thành liên tục $m': X'\times X'\rightarrow X'$ và chỉ có một luật như vậy sao cho có $p\circ m'=m\circ (p, p)$ và $m'(e', e') =e'$. Được trang bị luật hợp thành này, không gian có điểm $(X', e')$ là một không gian Hopf.

c) Được trang bị luật hợp thành cảm sinh bởi $m'$, thớ $X'_e$ là một nhóm với phần tử đơn vị $e'$. Ánh xạ của $\pi_1(X, x)$ vào $X'_e$ cho bởi $\gamma \mapsto e'\cdot \gamma$ là một đồng cấu nhóm toàn ánh với hạt nhân $p_*(\pi_1(X', e'))$. Ánh xạ $g\mapsto g(e')$ là một đẳng cấu của nhóm Aut$_X(X')$ lên nhóm $X'_e$.

a) Nhóm $\pi_1(X, e)$ là giao hoán (mệnh đề 3). Vì phủ $X'$ của X là liên thông, nên nó là một phủ Galois và nhóm Aut$_X(X')$ là đẳng cấu với nhóm thương $\pi_1(X, e)/p_*(\pi_1(X', e'))$ (III, p. 312, hệ quả 4 của mệnh đề 2); nhóm này là giao hoán.

b) Ký hiệu $q: X'\times X'\rightarrow X$ là ánh xạ $m\circ (p, p)$. Ánh xạ cần tìm $m'$ là một phép nâng liên tục của $q$ lên $X'$ sao cho $m'(e', e') =e'$. Không gian $X'\times X'$ là liên thông địa phương theo cung; do đó, để chứng minh sự tồn tại của một phép nâng liên tục như vậy, chỉ cần kiểm tra rằng $q_*(\pi_1(X'\times X',(e', e')))$ được chứa trong $p_*(\pi_1(X', e'))$ (III, p. 308, prop. 1). Theo prop. 3, ánh xạ $\pi_1(m,(e, e))$ đồng nhất với luật hợp thành của nhóm $\pi_1(X, e)$ khi đồng nhất $\pi_1(X\times X,(e, e))$ với $\pi_1(X, e)\times \pi_1(X, e)$. Nhóm $q_*(\pi_1(X'\times X',(e', e')))$ do đó bằng nhóm $p_*(\pi_1(X', e'))$, do đó có sự tồn tại của $m'$. Vì $X'\times X'$ là liên thông, tính duy nhất của $m'$ suy ra từ I, p. 34, hệ quả 1 của prop. 11.

Ta hãy chứng minh rằng ánh xạ $m'$ trang bị cho không gian có điểm đánh dấu $(X', e')$ một cấu trúc của không gian Hopf. Cho $m_1: X\rightarrow X$ là ánh xạ $g\mapsto m(g, e)$ và cho $\sigma_1: X\times \mathbf{I}\rightarrow X$ là một đồng luân có điểm đánh dấu tại $x$ nối $m_1$ với Id$_X$. Đặt $\tau =\sigma_1\circ (p$, Id$_{\mathbf{I}}): X'\times \mathbf{I}\rightarrow X$. Ánh xạ $m'_1: X'\rightarrow X'$ xác định bởi $h\mapsto m'(h, e')$ nâng ánh xạ $\tau (\cdot ,0)$; gọi $\tau ': X'\times \mathbf{I}\rightarrow X'$ là phép nâng của $\tau$ là một đồng luân với điểm gốc $m'_1($III, p. 301, prop. 2). Ánh xạ $t\mapsto \tau '(e', t)$ là một phép nâng lên $X'$ của ánh xạ hằng $t\mapsto e$; vì $\tau '(e',0) =e'$, do đó ta có $\tau '(e', t) =e'$ với mọi $t\in \mathbf{I}$. Ánh xạ $\tau '(\cdot ,1)$ khi đó là một phép nâng lên $X'$ của ánh xạ $p$ biến $e'$ thành $e'$. Vì $X'$ là liên thông, Id$_{X'}$ là cấu xạ X duy nhất của $X'$ vào chính nó giữ điểm $e'$ bất động; do đó ta có $\tau '(\cdot ,1) =$ Id$_{X'}$. Điều này chỉ ra rằng $\tau '$ là một đồng luân có điểm đánh dấu tại $e'$ nối ánh xạ $m'_1$ với ánh xạ Id$_{X'}$. Tương tự, tồn tại một đồng luân có điểm đánh dấu tại $e'$ nối ánh xạ $m'_2:h\mapsto m'(e', h)$ với ánh xạ Id$_{X'}$. Điều này chứng minh rằng không gian có điểm đánh dấu $(X', e')$, được trang bị luật hợp thành $m'$, là một không gian Hopf.

c) Vì $X'$ là một phủ liên thông của X, ánh xạ quỹ đạo của $e'$ cảm sinh bởi phép toán của $\pi_1(X, e)$ trên $X'_e$ là toàn ánh và cảm sinh một song ánh của $\pi_1(X, e)/p_*(\pi_1(X', e'))$ lên $X'_e($III, p. 305, Định lý 1).

Cho $c$ và $d$ là các vòng trong X tại $e$, và cho $\gamma$ và $\delta \in \pi_1(X, e)$ là các lớp của chúng. Cho $c'$ và $d'$ là các đường đi có gốc $e'$ trong $X'$ nâng $c$ và $d$. Ta có $e'\cdot \gamma =c'(1)$ và $e'\cdot \delta =d'(1)$ (III, p. 304). Theo Mệnh đề 3 của IV, p. 374, vòng $m\circ (c, d)$ đồng luân chặt với vòng $c*d$; do đó ta có $e'\cdot (\gamma \delta ) =e'\cdot (m\circ (c, d))$. Bây giờ, đường đi $m'\circ (c', d')$ là một nâng có gốc $e'$ của đường đi $m\circ (c, d)$; do đó ta có

Ánh xạ $\gamma \mapsto e'\cdot \gamma$ do đó là một đồng cấu nhóm từ $\pi_1(X, e)$ vào tập hợp $X'_e$ được trang bị luật hợp thành cảm sinh bởi $m'$. Do đó, $X'_e$ là một nhóm đối với luật hợp thành cảm sinh bởi $m'$, và ánh xạ quỹ đạo của $e'$ là một đẳng cấu của nhóm thương $\pi_1(X, e)/p_*(\pi_1(X', e'))$ lên $X'_e$.

Phần cuối của mệnh đề c) khi đó suy ra từ Hệ quả 3 của III, p. 311.

a) Nếu $m$ là một luật hợp thành kết hợp ( resp. giao hoán), thì điều tương tự cũng đúng đối với $m'$.

b) Nếu $e$ là một phần tử đơn vị phải ( resp. trái) đối với luật $m$, thì $e'$ là một phần tử đơn vị phải ( resp. trái) đối với luật $m'$.

c) Nếu X là một nhóm tôpô, $m$ là luật hợp thành của nó và $e$ là phần tử đơn vị của nó, luật hợp thành $m'$ trang bị cho $X'$ một cấu trúc nhóm tương thích với tôpô của $X'$, mà $e'$ là phần tử đơn vị. Ánh xạ $p: X'\rightarrow X$ là một đồng cấu nhóm có hạt nhân là rời rạc và được chứa trong tâm của $X'$.

a) Giả sử luật $m$ là kết hợp. Khi đó các ánh xạ từ $X'\times X'\times X'$ vào X lần lượt biến $(h_1, h_2, h_3)$ thành $m(p(h_1), m(p(h_2), p(h_3)))$ và $m(m(p(h_1), p(h_2)), p(h_3))$ là bằng nhau. Các ánh xạ $(h_1, h_2, h_3)\mapsto m'(h_1, m'(h_2, h_3))$ và $(h_1, h_2, h_3)\mapsto m'(m'(h_1, h_2), h_3)$ từ $X'\times X'\times X'$ vào $X'$ là các phép nâng liên tục của chúng và trùng nhau tại điểm $(e', e', e')$. Vì $X'\times X'\times X'$ là liên thông, chúng bằng nhau (I, p. 34, Hệ quả 1 của Mệnh đề 11), do đó luật $m'$ là kết hợp.

Bây giờ giả sử luật $m$ là giao hoán; các ánh xạ $(h_1, h_2)\mapsto m'(h_1, h_2)$ và $(h_1, h_2)\mapsto m'(h_2, h_1)$ là các phép nâng liên tục vào $X'$ của ánh xạ $(h_1, h_2)\mapsto m(p(h_1), p(h_2))$ và trùng nhau tại điểm $(e', e')$. Vì $X'\times X'$ là liên thông, chúng bằng nhau (loc. cit.) và luật $m'$ là giao hoán.

Nếu $e$ là phần tử đơn vị phải (resp. trái) đối với luật $m$, thì ánh xạ $h\mapsto m'(h, e')$ (resp. $h\mapsto m'(e', h)$) từ $X'$ vào $X'$ là một cấu xạ X của các phủ và trùng với Id$_{X'}$ tại điểm $e'$, do đó tại mọi điểm của $X'$, vì $X'$ là liên thông (loc. cit.), do đó b).

Cuối cùng ta chứng minh c). Giả sử rằng X là một nhóm tôpô. Từ những điều đã nêu trên, luật $m'$ là kết hợp và $e'$ là một phần tử đơn vị đối với nó. Gọi $i: X\rightarrow X$ là ánh xạ $g\mapsto g^{-1}$. Nó liên tục (TG, III, p. 1) và đồng cấu $\pi_1(i, e):\pi_1(X, e)\rightarrow \pi_1(X, e)$ chính là ánh xạ $\gamma \mapsto \gamma^{-1}($IV, p. 374, mệnh đề 3). Do đó, nhóm con $(i\circ p)_*(\pi_1(X', e'))$ bằng $p_*(\pi_1(X', e'))$. Theo mệnh đề 1 của III, p. 308, do đó tồn tại một ánh xạ liên tục $i': X'\rightarrow X'$ sao cho $p\circ i'=i\circ p$ và $i'(e') =e'$. Các ánh xạ $h\mapsto m'(h, i'(h))$ và $h\mapsto$ $m'(i'(h), h)$ từ $X'$ vào $X'$ là các nâng lên tới $X'$ của ánh xạ hằng với ảnh $e$ từ $X'$ vào X. Vì vậy chúng là hằng và ảnh của chúng là $e'=m'(e', e')$. Do đó mọi phần tử $h$ của $X'$ đều khả nghịch, với phần tử nghịch đảo là $i'(h)$, điều này chỉ ra rằng $X'$, được trang bị luật hợp thành $m'$, là một nhóm. Theo phép dựng của luật $m'$, ánh xạ $p: X'\rightarrow X$ là một đồng cấu nhóm. Vì các ánh xạ $m'$ và $i'$ liên tục, cấu trúc nhóm của $X'$ tương thích với tôpô của nó (TG, III, p. 1). Thớ $\overset{-1}{p}(e)$ là một nhóm con rời rạc của $X'$ được chứa trong tâm của $X'($I, p. 100, hệ quả 3) và X đẳng cấu với nhóm tôpô thương $X'/\overset{-1}{p}(e)$.

a) Không gian $\widetilde{G}$ đơn liên và đơn liên theo cung. Được trang bị ánh xạ $p$, không gian có điểm đặc biệt $(\widetilde{G},\widetilde{e})$ là một phủ phổ quát của không gian có điểm đặc biệt $(G, e)$.

(b) Hạt nhân N của $p$ là một nhóm con rời rạc của $\widetilde{G}$, được chứa trong tâm của $\widetilde{G}$. Đồng cấu nhóm $N\rightarrow$ Aut$_G(\widetilde{G})$ kết hợp, với mỗi $n\in N$, phép dịch phải trong $\widetilde{G}$, là một đẳng cấu nhóm. Đồng cấu của $\pi_1(G)$ vào N kết hợp, với mỗi $\gamma \in \pi_1(G)$, phần tử duy nhất $n$ của N sao cho $\widetilde{e}\cdot \gamma =n$, là một đẳng cấu nhóm.

(c) Nếu $G'$ là một nhóm tôpô, với phần tử đơn vị $e'$, và nếu $p': G'\rightarrow$ G là một đồng cấu nhóm biến $G'$ thành một phủ của G, thì ánh xạ liên tục duy nhất $u:\widetilde{G}\rightarrow G'$ sao cho $u(\widetilde{e}) =e'$ và $p'\circ u=p$ là một đồng cấu nhóm. Được trang bị ánh xạ $u,(\widetilde{G},\widetilde{e})$ là một phủ phổ quát của $(G', e')$.

Theo IV, p. 342, Định lý 1, tồn tại một phủ $(\widetilde{G}, p)$ của G, đơn liên và đơn liên theo cung, Galois với nhóm $\pi_1(G)^{\circ}$, và một điểm $\widetilde{e}$ của $\overset{-1}{p}(e)$ sao cho phủ có điểm $(\widetilde{G},\widetilde{e})$ là một phủ phổ quát của $(G, e)$.

Theo IV, p. 375, Mệnh đề 4 và IV, p. 377, Mệnh đề 5, trên không gian $\widetilde{G}$ tồn tại một cấu trúc nhóm duy nhất tương thích với tôpô của nó sao cho $p$ là một đồng cấu nhóm và $\widetilde{e}$ là một phần tử đơn vị. Theo Mệnh đề 4, nhóm $\widetilde{G}$ thỏa mãn các mệnh đề (a) và (b).

Ta hãy chứng minh mệnh đề (c). Cho $G'$ là một nhóm tôpô và cho $p': G'\rightarrow G$ là một đồng cấu nhóm biến $G'$ thành một phủ của G. Gọi $e'$ là phần tử đơn vị của $G'$. Sự tồn tại và tính duy nhất của một ánh xạ $u:\widetilde{G}\rightarrow G'$ sao cho $p=p'\circ u$ và $u(\widetilde{e}) =e'$ suy ra từ việc $(\widetilde{G},\widetilde{e})$ là một phủ phổ quát của không gian có điểm $(G, e)$. Vì các ánh xạ $p$ và $p'$ là các đồng cấu nhóm toàn ánh, nên $u$ là một đồng cấu nhóm. Được trang bị ánh xạ $u,\widetilde{G}$ là một phủ của $G'($I, p. 81, Mệnh đề 7), do đó $(\widetilde{G},\widetilde{e})$ là một phủ phổ quát của $(G', e')$ (IV, p. 345, Hệ quả 2 của Định lý 1).

Với các giả thiết của mệnh đề, ta sẽ gọi, theo cách nói lạm dụng, $\widetilde{G}$ là một phủ phổ quát của G.