Bài tập 4, § 2

Cho X là một không gian tôpô liên thông và địa phương liên thông theo cung. Cho $x$ là một điểm của X có một hệ cơ bản đếm được các lân cận. Cho S là một tập hợp và cho $\varphi :\pi_1(X, x)\rightarrow \mathbf{Z}^{(S)}$ là một đồng cấu nhóm toàn ánh.

(a) Chứng minh rằng S là đếm được.

(b) Giả sử rằng X là compact; chứng minh rằng S là hữu hạn.

(c) Giả sử rằng $\pi_1(X, x)$ là một nhóm Abel tự do; chứng minh rằng X là không thắt được.

(d) Giả sử rằng $\pi_1(X, x)$ là một nhóm tự do; chứng minh rằng X là không thắt được. (Dùng sự kiện rằng giao của các nhóm con của dãy trung tâm giảm dần của một nhóm tự do thu về phần tử đơn vị.)