Exercice 4, § 2

Soit X un espace topologique connexe et localement connexe par arcs. Soit $x$ un point de X qui possède un système fondamental dénombrable de voisinages. Soit S un ensemble et soit $\varphi :\pi_1(X, x)\rightarrow \mathbf{Z}^{(S)}$ un homomorphisme de groupes surjectif.

a) Démontrer que S est dénombrable.

b) On suppose que X est compact ; démontrer que S est fini.

c) On suppose que $\pi_1(X, x)$ est un groupe abélien libre ; démontrer que X est délaçable.

d) On suppose que $\pi_1(X, x)$ est un groupe libre ; démontrer que X est délaçable. (Utiliser le fait que l’intersection des sous-groupes de la suite centrale descendante d’un groupe libre est réduite à l’élément neutre.)