Bài tập 5, § 2

Cho $P$ là khuyên tai Hawaii (III, p. 336, exerc. 6, mà ta lại dùng ký hiệu của nó). Với $n\in \mathbf{N}^*$, gọi $\alpha_n\in \pi_1(P, o)$ là lớp của một đường vòng trong $C_n$ mà lớp của nó sinh ra $\pi_1(C_n,0)$.

a) Chứng minh rằng ánh xạ Hom($\pi_1(P,0),\mathbf{Z}$)$\rightarrow \mathbf{Z}^{\mathbf{N}},\varphi \mapsto (\varphi (\alpha_n))_{n\in\mathbf{N}}$ là một đồng cấu đơn cấu của các nhóm và ảnh của nó bằng $\mathbf{Z}^{(\mathbf{N})}$.[^1]

b) Nhóm $\pi_1(P,0)$ không phải là một nhóm tự do; thương của $\pi_1(P,0)$ bởi nhóm dẫn xuất của nó không phải là một nhóm Abel tự do.

c) Gọi A là quần đảo Hawaii (III, p. 338, exerc. 10). Chứng minh rằng mọi đồng cấu từ $\pi_1(A, o)$ vào $\mathbf{Z}$ đều tầm thường.

[^1]: Xem B. de Smit, « The fundamental group of the Hawaiian earring is not free », International Journal of Algebra and Computation, Vol. 2, No. 1 (1992), p. 33–37.