Exercice 5, § 2

Soit P la boucle d’oreille hawaïenne (III, p. 336, exerc. 6, dont on reprend les notations). Pour $n\in \mathbf{N}^*$, soit $\alpha_n\in \pi_1(P, o)$ la classe d’un lacet dans $C_n$ dont la classe engendre $\pi_1(C_n,0)$.

a) Démontrer que l’application Hom($\pi_1(P,0),\mathbf{Z}$)$\rightarrow \mathbf{Z}^{\mathbf{N}},\varphi \mapsto (\varphi (\alpha_n))_{n\in\mathbf{N}}$ est un homomorphisme injectif de groupes et que son image est égale à $\mathbf{Z}^{(\mathbf{N})}$.[^1]

b) Le groupe $\pi_1(P,0)$ n’est pas un groupe libre ; le quotient de $\pi_1(P,0)$ par son groupe dérivé n’est pas un groupe abélien libre.

c) Soit A l’archipel hawaïen (III, p. 338, exerc. 10). Démontrer que tout homomorphisme de $\pi_1(A, o)$ dans $\mathbf{Z}$ est trivial.

[^1]: Voir B. de Smit, « The fundamental group of the Hawaiian earring is not free », International Journal of Algebra and Computation, Vol. 2, No. 1 (1992), p. 33–37.