Bài tập 7, § 4

Cho X là một không gian tôpô tách được và G là một nhóm rời rạc tác động đúng đắn trong X; ta ký hiệu bởi $m: G\times X\rightarrow$ X phép toán của G, pr$_2: G\times X\rightarrow X$ phép chiếu thứ hai, và $f: X\rightarrow X/G$ toàn cấu chính tắc.

a) Bài tập chứng minh rằng cấu xạ của nhómoid $\varpi (f)$ là toàn ánh.

b) Cho H là một nhómoid và cho $\varphi :\varpi (X)\rightarrow H$ là một cấu xạ của các nhómoid sao cho $\varphi \circ \varpi (m) =\varphi \circ \varpi$(pr$_2$).

Cho $c_1$ và $c_2$ là các đường đi trong X sao cho các đường đi $f\circ c_1$ và $f\circ c_2$ trong $X/G$ là đồng luân chặt. Bài tập chứng minh rằng ta có $\varphi ([c_1]) =$ $\varphi ([c_2])$.

c) Bài tập chứng minh rằng tồn tại một cấu xạ duy nhất của các nhómoid $\varphi '$ từ $\varpi (X/G)$ vào H sao cho $\varphi =\varphi '\circ \varpi (f)$. Suy ra một chứng minh mới của định lý 3 của IV, p. 403.