Exercice 7, § 4

Soit X un espace topologique délaçable et soit G un groupe discret opérant proprement dans X ; on note $m: G\times X\rightarrow$ X l’opération de G, pr$_2: G\times X\rightarrow X$ la seconde projection, et $f: X\rightarrow X/G$ la surjection canonique.

a) Démontrer que le morphisme de groupoïdes $\varpi (f)$ est surjectif.

b) Soit H un groupoïde et soit $\varphi :\varpi (X)\rightarrow H$ un morphisme de groupoïdes tel que $\varphi \circ \varpi (m) =\varphi \circ \varpi$(pr$_2$).

Soient $c_1$ et $c_2$ des chemins dans X tels que les chemins $f\circ c_1$ et $f\circ c_2$ dans $X/G$ soient strictement homotopes. Démontrer que l’on a $\varphi ([c_1]) =$ $\varphi ([c_2])$.

c) Démontrer qu’il existe un unique morphisme de groupoïdes $\varphi '$ de $\varpi (X/G)$ dans H tel que $\varphi =\varphi '\circ \varpi (f)$. En déduire une nouvelle démonstration du théorème 3 de IV, p. 403.