Ghi chú lịch sử

(Các số trong ngoặc vuông chỉ đến thư mục tài liệu ở cuối chú ý này.)

Mọi phép đo các đại lượng đều hàm ý một khái niệm mơ hồ về các số thực (chúng ta sẽ thấy các lý do chính xác cho điều này trong Chương V, § 2). Từ quan điểm toán học, nguồn gốc của lý thuyết số thực có thể truy nguyên về sự hình thành dần dần của người Babylon một hệ ghi số mà (về nguyên lý) có khả năng biểu diễn các xấp xỉ tùy ý gần với mọi số thực [1]. Việc sở hữu một hệ như vậy, cùng với sự tin tưởng vào tính toán số học tự nhiên nảy sinh từ đó, tất yếu dẫn đến một khái niệm "ngây thơ" về số thực, hầu như không khác gì khái niệm hiện nay (gắn với hệ ghi số thập phân) trong giáo dục sơ cấp và giữa các nhà vật lý, kỹ sư. Khái niệm này không thể được định nghĩa một cách chính xác, nhưng có thể được diễn đạt bằng cách nói rằng một số được xem là xác định bởi khả năng tìm các xấp xỉ của nó và sử dụng các xấp xỉ này trong tính toán; điều này tất yếu bao hàm một mức độ lẫn lộn nhất định giữa các phép đo các đại lượng vật lý, mà dĩ nhiên không thể có một chuỗi vô hạn các xấp xỉ ngày càng gần hơn, và các "số" như $\sqrt{2}$ (giả sử rằng ta sở hữu một thuật toán cho phép tạo ra một chuỗi vô hạn các xấp xỉ ngày càng gần hơn của những số như vậy).

Một thái độ "thực dụng" tương tự xuất hiện trong mọi trường phái toán học nơi sự thành thạo trong tính toán quan trọng hơn tính chặt chẽ và lý thuyết. Tuy nhiên, lý thuyết sau này lại chiếm ưu thế trong toán học Hy Lạp; và chính người Hy Lạp là những người mà chúng ta mang ơn về lý thuyết chặt chẽ và nhất quán đầu tiên về các tỷ số của các đại lượng, tức là về bản chất, về các số thực. Lý thuyết này là đỉnh cao của một chuỗi các phát hiện về tỷ lệ và, đặc biệt, về các tỷ số không giao hoán, mà tầm quan trọng của chúng trong lịch sử tư tưởng Hy Lạp khó có thể phóng đại, nhưng do thiếu các văn bản chính xác nên chỉ có thể nhận ra một cách sơ lược. Toán học Hy Lạp trong những giai đoạn đầu gắn bó không thể tách rời với những suy đoán, một phần khoa học và một phần triết học, thần bí, về tỷ lệ, sự tương tự và tỷ số, đặc biệt là các "tỷ số đơn" (biểu diễn được bằng các phân thức có tử số và mẫu số nhỏ); và một trong những khuynh hướng đặc trưng của trường phái Pythagore là cố gắng giải thích mọi thứ bằng các số nguyên và các tỷ số của các số nguyên. Nhưng chính trường phái Pythagore, trên thực tế, đã phát hiện rằng đường chéo của một hình vuông không giao hoán với cạnh của nó (nói cách khác, rằng $\sqrt{2}$ là vô tỉ). Đây chắc chắn là ví dụ đầu tiên về một chứng minh của tính không thể trong toán học, và chỉ riêng việc đặt ra một câu hỏi như vậy đã hàm ý sự phân biệt rõ ràng giữa một tỷ số và các xấp xỉ của nó, đồng thời chỉ ra khoảng cách vô cùng lớn ngăn cách các nhà toán học Hy Lạp với những người đi trước họ (*).

Chúng ta biết rất ít về sự vận động của các ý tưởng đi kèm và tiếp sau phát hiện quan trọng này (**). Chúng ta sẽ chỉ đưa ra một tóm tắt ngắn gọn về những ý tưởng chính làm cơ sở cho lý thuyết các tỷ số của các đại lượng, lý thuyết được nhà toán học vĩ đại Eudoxus (người cùng thời và là bạn của Plato) xây dựng, được toán học Hy Lạp cổ điển tiếp nhận dứt khoát, và được biết đến với chúng ta qua Elements của Euclid [2], nơi nó được mô tả một cách bậc thầy (trong Quyển V của Elements):

i) Từ và ý tưởng về số được dành riêng nghiêm ngặt cho các số nguyên tự nhiên > 1 (1 là đơn vị và không phải, theo nghĩa nghiêm ngặt, là một số), loại trừ không chỉ các số vô tỉ của chúng ta mà còn cả những gì chúng ta gọi là các số hữu tỉ: đối với các nhà toán học Hy Lạp của thời kỳ cổ điển, những số sau là các tỷ số của các số. Ở đây có nhiều hơn một vấn đề đơn giản về thuật ngữ: từ "số" đối với người Hy Lạp (và đối với người hiện đại cho đến thời gian gần đây) gắn liền với ý tưởng về một hệ có

(*) Phát hiện rằng $\sqrt{2}$ là vô tỉ được một số người quy cho chính Pythagoras nhưng, dường như, không có đủ cơ sở; những người khác quy cho một nhà Pythagore nào đó của thế kỷ thứ năm trước Công nguyên. Dựa theo uy tín của Plato trong Theaetetus, Theodorus ở Cyrene được ghi nhận với chứng minh tính vô tỉ của $\sqrt{3}, \sqrt{5},$ "và cứ tiếp tục như vậy cho đến $\sqrt{17}$", sau đó Theaetetus dường như hoặc đã thu được một chứng minh tổng quát cho $\sqrt{N}$ (N là bất kỳ số nguyên nào không phải là bình phương hoàn hảo) hoặc ít nhất (nếu, như có thể đã xảy ra, chứng minh của Theodorus về nguyên lý là tổng quát) đã tiếp tục tới một sự phân loại một số kiểu số vô tỉ. Chúng ta không biết liệu những chứng minh đầu tiên về tính vô tỉ này là số học hay hình học; về điểm này xem G. H. Hardy và E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, Oxford, 1938, Chương IV; xem thêm Sir Thomas Heath, A History of Greek Mathematics, 2 tập, Oxford, 1921; H. Vogt, Entdeckung des Irrationalen..., Bibliotheca Mathematica (3) 10 (1909), tr. 97, và H. Hasse và H. Scholz, Die Grundlagenkrise der griechischen Mathematik, (Pan-Verlag), 1928.

(**) Về chủ đề này, đặc biệt tham khảo các bài viết của O. Becker và các bài viết của O. Toeplitz trong Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik (Abt. B, Studien), các tập 1, 2, 3, Berlin (Springer), 1931-36; cũng như các công trình được trích dẫn trong chú ý trước, và B. L. van der Waerden, Zenon und die Grundlagenkrise..., Math. Ann., 117 (1940), p. 141.

hai luật hợp thành (phép cộng và phép nhân); các tỉ số của các số nguyên được các nhà toán học Hy Lạp cổ điển coi là các toán tử, được xác định trên tập hợp các số nguyên hoặc trên một tập con nào đó của tập hợp này [tỉ số của $p$ với $q$ là toán tử mà, áp dụng vào $\mathbf{N}$, nếu $\mathbf{N}$ là một bội của $q$, cho số nguyên $p \cdot (\mathbf{N}/q)$], và tạo thành một nhóm nhân nhưng không phải là một hệ có hai luật hợp thành. Về điểm này, các nhà toán học Hy Lạp đã tự nguyện tách mình khỏi những "nhà tính toán" hay những người tính toán chuyên nghiệp, vốn, giống như các bậc tiền bối Ai Cập và Babylon của họ, không ngần ngại coi các phân thức như thể chúng là các số, hoặc cộng một phân thức với một số nguyên. Hơn nữa, dường như sự hạn chế tự áp đặt này đối với khái niệm số xuất phát từ những động cơ triết học chứ không phải toán học, và tiếp sau những suy tư của các nhà tư tưởng Hy Lạp đầu tiên về đơn vị và bội; đơn vị (trong hệ thống tư tưởng này) không thể phân chia mà không vì thế mất đi đặc trưng là đơn vị (*).

2) Lý thuyết về các đại lượng dựa trên các tiên đề, được áp dụng đồng thời cho mọi kiểu đại lượng (có những ám chỉ đến các lý thuyết trước đây mà dường như đã xử lý riêng biệt độ dài, diện tích, thể tích, thời gian, v.v.). Các đại lượng cùng kiểu được đặc trưng bởi các sự kiện rằng chúng có thể được so sánh (nghĩa là giả thiết rằng đẳng thức, vốn là một quan hệ tương đương, và các quan hệ > và < được xác định), rằng chúng có thể được cộng và trừ (A + B được xác định, và A - B cũng vậy nếu A > B) và rằng chúng thỏa mãn "tiên đề Archimedes" (Định lý 1 của § 2). Ngay từ đầu, người ta đã nhận thấy rõ ràng rằng sự kiện sau này là hòn đá tảng của toàn bộ công trình (thực tế nó là không thể thiếu trong mọi đặc trưng hóa tiên đề của các số thực; cf. Chương V, § 2). Việc gán nó cho Archimedes hoàn toàn là ngẫu nhiên: trong phần mở đầu của "Phương tích Parabol" [3], Archimedes nhấn mạnh rằng tiên đề này đã được những người đi trước ông sử dụng, rằng nó giữ một vai trò cốt yếu trong công trình của Eudoxus, và rằng các hệ quả của nó cũng chắc chắn được xác lập không kém gì các phép xác định diện tích và thể tích được thực hiện mà không có sự trợ giúp của nó (**).

Chúng ta sẽ thấy trong Chương V, § 2, lý thuyết về các số thực là một hệ quả cần thiết của nền tảng tiên đề này như thế nào. Chú ý rằng, đối với Eudoxus, các đại lượng của một kiểu cho trước tạo thành một hệ với một

(*) Plato (Cộng hòa, Quyển VII, 525 e) chế giễu những người tính toán "chia đơn vị thành những đồng tiền nhỏ" và cho chúng ta biết rằng, nơi những người tính toán chia, các nhà triết học nhân; trong ngôn ngữ toán học, điều này có nghĩa là, chẳng hạn, đẳng thức của hai tỉ số $a/b$ và $c/d$ được chứng minh không phải bằng cách chia $a$ cho $b$ và $c$ cho $d$, điều này nói chung dẫn đến các phép tính với phân thức (đó là cách mà người Ai Cập hay người Babylon đã tiến hành), mà bằng cách kiểm tra rằng $a.d = b.c$; và các sự kiện tương tự khác.

(**) Đây rõ ràng là một ám chỉ đến những cuộc tranh luận không còn lưu truyền đến chúng ta; nó gợi nhớ đến một nhà toán học hiện đại nói về tiên đề của Zermelo.

luật hợp thành nội tại (phép cộng), nhưng hệ này có một luật hợp thành ngoài mà các toán tử của nó là các tỉ số của các đại lượng, được quan niệm như tạo thành một nhóm nhân Abel. Nếu A và A' là các đại lượng cùng kiểu, và nếu B và B' là các đại lượng cùng kiểu, thì các tỉ số của A với A' và B với B' được định nghĩa là bằng nhau nếu, với mọi số nguyên m và m', quan hệ mA < m'A' kéo theo mB < m'B', và mA > m'A' kéo theo mB > m'B'. Các bất đẳng thức giữa các tỉ số được định nghĩa bằng các phương pháp tương tự. Việc các tỉ số này tạo thành một miền các toán tử cho mọi kiểu đại lượng tương đương với tiên đề (không được phát biểu tường minh nhưng thường xuyên được sử dụng trong cách trình bày của Euclid) về sự tồn tại của tỉ lệ thức thứ tư: nếu một tỉ số A/A' được cho, và nếu B được cho, thì tồn tại một B', cùng kiểu với B, sao cho B/B' = A/A'. Như vậy ý tưởng xuất sắc của Eudoxus cho phép ông đồng nhất tất cả các miền toán tử được xác định bởi những kiểu đại lượng khác nhau (*); tương tự, tập hợp các tỉ số của các số nguyên (xem trên đây) có thể được đồng nhất với một tập con của tập hợp các tỉ số của các đại lượng, cụ thể là tập hợp các tỉ số hữu tỉ (hay các tỉ số của các đại lượng thông ước); tuy nhiên, vì các tỉ số này, được xem như các toán tử của các số nguyên, (nói chung) chỉ được xác định trên một tập con của tập hợp các số nguyên, nên cần phải phát triển lý thuyết của chúng một cách riêng biệt (Quyển VII của Euclid).

Miền phổ quát của các toán tử được xây dựng như vậy là cái tương đương, đối với các nhà toán học Hy Lạp, với điều mà tập hợp các số thực là đối với chúng ta; hơn nữa rõ ràng rằng, với phép cộng các đại lượng và phép nhân các tỉ số của các đại lượng, họ đã sở hữu cái tương đương với điều mà trường các số thực là đối với chúng ta, mặc dù dưới một dạng kém dễ thao tác hơn nhiều (**). Mặt khác, người ta có thể hỏi liệu họ có coi các tập hợp này (tập hợp các đại lượng của một kiểu cho trước, hoặc tập hợp các tỉ số của các đại lượng) là đầy đủ

() Do đó nó đem lại tính nghiêm ngặt đầy đủ cho công trình của các nhà toán học Hy Lạp thời kỳ đầu, những người coi một định lý về các tỉ lệ đã được thiết lập một khi họ có thể chứng minh nó cho mọi tỉ số hữu tỉ. Dường như trước thời Eudoxus đã có những nỗ lực xây dựng một lý thuyết đạt được cùng mục đích bằng cách định nghĩa tỉ số A/A' của hai đại lượng nhờ vào cái mà trong ngôn ngữ hiện đại sẽ được gọi là các số hạng của phân thức liên tục biểu diễn tỉ số; những nỗ lực này là sự phát triển tự nhiên của thuật toán (được đặt tên theo Euclid) nhằm tìm một ước chung của A và A' nếu nó tồn tại (hoặc để xác định nhân tử chung cao nhất). Cf. các bài viết của O. Becker được trích dẫn ở trên [chú thích (*)] ở p. 407).

(**) Quá cồng kềnh đến mức để chuyển khoa học đại số của người Babylon sang ngôn ngữ của mình, các nhà toán học Hy Lạp buộc phải sử dụng một cách có hệ thống một phương tiện thuộc một cấp độ hoàn toàn khác, cụ thể là sự tương ứng giữa hai độ dài và diện tích của hình chữ nhật được dựng trên hai độ dài ấy làm các cạnh; nói một cách chặt chẽ, đây không phải là một luật hợp thành, và không cho phép biểu diễn thuận tiện các quan hệ đại số có bậc cao hơn hai.

Cần nhận thấy rằng trong suốt Chú ý này, chúng ta bỏ qua vấn đề các số âm.

theo nghĩa của chúng ta. Nếu không, không rõ tại sao họ lại phải giả định sự tồn tại của tỉ lệ thức thứ tư (mà thậm chí không nhận thấy cần phải đặt nó thành một tiên đề); hơn nữa, một số văn bản dường như có đề cập đến những ý tưởng thuộc loại này; và chắc chắn họ đã coi là hiển nhiên sự kiện rằng một đường cong có thể được mô tả bằng chuyển động liên tục không thể đi từ một phía của một đường thẳng sang phía kia mà không cắt đường thẳng ấy, một nguyên lý mà họ đã sử dụng, chẳng hạn, trong các nghiên cứu về phép nhân đôi hình lập phương (phép dựng $\sqrt[3]{2}$ bằng các giao điểm của các đường cong) và về bản chất là tương đương với tính chất đang xét; tuy nhiên, những văn bản còn truyền lại cho chúng ta không cho phép nhận biết một cách đầy đủ chính xác những quan niệm của họ về điểm này.

Đó là tình trạng của lý thuyết về các số thực trong thời kỳ cổ điển của toán học Hy Lạp. Mặc dù phép dựng của Eudoxus đáng khâm phục, không để lại điều gì phải mong muốn về tính chặt chẽ hay tính nhất quán, tuy nhiên phải thừa nhận rằng nó thiếu tính linh hoạt và không khuyến khích sự phát triển của phép tính số, càng không khuyến khích sự phát triển của phép tính đại số. Hơn nữa, tính tất yếu lôgic của nó chỉ có thể hiển nhiên đối với những người say mê tính chặt chẽ và quen với sự trừu tượng; do đó, tự nhiên là khi toán học Hy Lạp suy tàn, quan điểm "ngây thơ", vốn được duy trì qua truyền thống của các nhà lôgic học, dần dần tái xuất hiện. Quan điểm này chiếm ưu thế chẳng hạn ở Diophantus [4], người thực ra là một người bảo vệ truyền thống này hơn là khoa học Hy Lạp chính thống; ông hời hợt lặp lại định nghĩa Euclid về số, nhưng trên thực tế dùng từ "số" để chỉ ẩn số trong các bài toán đại số mà nghiệm có thể là một số nguyên, hoặc một phân số, hoặc một số vô tỉ (*). Mặc dù sự thay đổi thái độ này đối với khái niệm số gắn liền với một trong những tiến bộ quan trọng nhất trong lịch sử toán học, cụ thể là sự phát triển của đại số, tất nhiên bản thân nó không cấu thành một tiến bộ, mà đúng hơn là một sự thụt lùi.

Ở đây chúng ta không thể lần theo những thăng trầm của khái niệm số qua nền toán học Ấn Độ, Ả Rập và phương Tây cho đến cuối thời Trung Cổ. Khái niệm "ngây thơ" về số chiếm ưu thế, và mặc dù Các Nguyên tố của Euclid làm cơ sở cho việc giảng dạy toán học trong thời kỳ này, rất có thể học thuyết của Eudoxus nhìn chung vẫn không được hiểu vì người ta không còn nhận thấy sự cần thiết của nó. Các "tỉ số" của Euclid thường được mô tả là "các số", và các quy tắc tính toán với các số nguyên được áp dụng cho chúng mà không hề có nỗ lực phân tích những lý do dẫn đến sự thành công của các phương pháp này.

(*) "Do đó 'số' là vô tỉ", Diophantus, Quyển IV, Bài toán IX. Về sự trở lại này với khái niệm ngây thơ về số, cf. cũng Eutocius, trong Chú giải của ông về Archimedes ([3], Tập 3, p. 120-126 của lần xuất bản thứ 2 = tr. 140-148 của lần xuất bản thứ 1).

Tuy nhiên, chúng ta thấy R. Bombelli, ngay từ giữa thế kỷ 16, đã trình bày một quan điểm về vấn đề này trong tác phẩm Algebra [5] (), về cơ bản là đúng (với điều kiện giả định rằng các kết quả của Quyển V của Euclid đã được biết); sau khi nhận thấy rằng một khi đơn vị độ dài đã được chọn thì có một sự tương ứng một-một giữa các độ dài và các tỉ số của các đại lượng, ông định nghĩa các phép toán đại số khác nhau trên các độ dài (dĩ nhiên giả định rằng đơn vị đã được cố định) và, biểu diễn các số bằng các độ dài, thu được định nghĩa hình học của trường các số thực (một quan điểm thường được quy cho Descartes) và do đó cung cấp cho đại số của mình một nền tảng hình học vững chắc (*).

Nhưng Đại số của Bombelli, mặc dù tiến bộ một cách đặc biệt so với thời đại của nó, không đi xa hơn việc khai triển các căn thức và giải bằng căn thức các phương trình bậc hai, bậc ba và bậc bốn; dĩ nhiên khả năng khai triển các căn thức được giả định mà không có bất kỳ sự thảo luận nào. Simon Stevin [6] chấp nhận một quan điểm tương tự về số; đối với ông, một số biểu thị một độ đo của một đại lượng và được xem về bản chất là “liên tục” (mà không đưa ra một ý nghĩa chính xác cho từ này). Nếu ông phân biệt giữa “các số hình học” và “các số số học”, thì đó chỉ là do sự ngẫu nhiên của cách định nghĩa chúng chứ không phải do một sự khác biệt về bản chất. Những lời cuối cùng của ông về chủ đề này như sau: “Do đó chúng ta kết luận rằng không có các số phi lý, vô tỉ, bất quy tắc, không thể giải thích hoặc vô tỉ thức, mà trong chúng có một sự hoàn hảo và hòa hợp đến mức chúng ta có chất liệu để suy ngẫm ngày đêm về sự hoàn hảo đáng khâm phục của chúng” ([6], p. 10). Mặt khác, ông là người đầu tiên sử dụng các phân thức thập phân như một phương pháp tính toán và đề xuất một ký hiệu cho chúng rất gần với ký hiệu của chúng ta; và ông nhận thấy rõ ràng rằng các phân thức này cung cấp một thuật toán để xấp xỉ vô hạn gần tới bất kỳ số thực nào, như được chứng minh bởi Appendice algebraique của ông năm 1594, “chứa một quy tắc tổng quát cho mọi phương trình” (bản duy nhất được biết đến của tập sách này đã bị đốt cháy tại Louvain năm 1914; nhưng xem [6], vol. 1, p. 88). Một phương trình như vậy được viết dưới dạng $P(x) = Q(x)$ [trong đó bậc của đa thức $P$ lớn hơn bậc của đa thức $Q$, và $P(0) < Q(0)$], ông thay $x$ bằng các số 10, 100, 1000, ... cho đến khi tìm được $P(x) > Q(x)$, điều mà theo ông xác định số chữ số của nghiệm; sau đó (chẳng hạn nếu nghiệm có hai chữ số) ông thay bằng 10, 20, ... điều này xác định

(*) Ở đây chúng tôi quan tâm đến Quyển IV của Đại số của ông, vốn vẫn chưa được xuất bản cho đến thời hiện đại; đối với mục đích của chúng ta, việc những tư tưởng của Bombelli về chủ đề này có được những người cùng thời với ông biết đến hay không không quan trọng lắm.

(**) Chúng tôi không đi vào đây lịch sử của việc sử dụng các số âm, vốn thuộc khuôn khổ của đại số. Tuy vậy, hãy lưu ý rằng Bombelli, trong cùng một bối cảnh, đưa ra một cách hoàn toàn rõ ràng định nghĩa hình thức thuần túy (như người ta có thể tìm thấy trong một đại số hiện đại) không chỉ của các số âm, mà còn của các số phức.

Tuy nhiên, trong hai thế kỷ tiếp theo, việc xác lập dứt khoát các phương pháp đúng đắn đã hai lần bị trì hoãn bởi sự phát triển của hai lý thuyết mà lịch sử của chúng không thuộc khuôn khổ của chú ý này: phép tính vô cùng bé và lý thuyết về chuỗi. Trong suốt các cuộc thảo luận mà chúng làm nảy sinh, chúng ta nhận thấy, cũng như trong mọi thời kỳ của lịch sử toán học, sự cân bằng không ngừng giữa những người tìm cách tiến lên, chấp nhận một mức độ bất an nào đó, tin chắc rằng về sau sẽ luôn còn thời gian để củng cố phần đất đã chinh phục, và những người có đầu óc phê phán (không nhất thiết phải thua kém về bất kỳ phương diện nào về năng khiếu trực giác và thiên tài sáng tạo) tin rằng năng lực của họ không bị lãng phí khi họ dành nỗ lực cho việc phát biểu chính xác và biện minh nghiêm ngặt cho các quan niệm của mình. Trong thế kỷ XVII, chủ đề chính của cuộc tranh luận là khái niệm “vô hạn” nhỏ, mặc dù được biện minh $a posteriori$ bởi những kết quả thu được nhờ nó, dường như hoàn toàn đối lập với tiên đề Archimedes; và chúng ta thấy những trí tuệ sáng suốt nhất của thời kỳ này cuối cùng chấp nhận một quan điểm không khác nhiều so với quan điểm của Bombelli, và được phân biệt trên hết bởi sự chú ý lớn hơn mà nó dành cho các phương pháp nghiêm ngặt của người xưa. Isaac Barrow (thầy của Newton, người bản thân đã đóng một vai trò quan trọng trong việc sáng lập phép tính vô cùng bé) đã trình bày xuất sắc quan điểm này trong các Mathematical Lectures của ông được giảng tại Cambridge năm 1664-5-6 [7]; nhận thấy sự cần thiết phải trở lại lý thuyết của Eudoxus để lấy lại “sự chắc chắn hình học” theo nghĩa thông thường trong chủ đề về số, ông trình bày dài dòng một sự bảo vệ cực kỳ sáng suốt đối với lý thuyết của Eudoxus (mà theo chứng cứ của Barrow, vẫn không thể hiểu được đối với nhiều người cùng thời với ông) chống lại những người buộc tội lý thuyết ấy là tối nghĩa hoặc thậm chí phi lý. Mặt khác, bằng cách định nghĩa các số là những ký hiệu biểu thị các tỉ số của các đại lượng và có khả năng được kết hợp bằng các phép toán số học, Barrow thu được trường các số thực theo những cách diễn đạt mà Newton đã tiếp nhận lại trong Arithmetic của mình, và những người kế tục ông cho đến Dedekind và Cantor không thay đổi.

Nhưng chính trong thời kỳ này mà phương pháp khai triển thành chuỗi được đưa vào; phương pháp này nhanh chóng mang một tính chất hình thức thuần túy trong tay những nhà đại số không chịu hối cải và làm chuyển hướng sự chú ý của các nhà toán học khỏi những vấn đề hội tụ vốn cốt yếu đối với mọi việc sử dụng đúng đắn chuỗi trong miền các số thực. Newton, người sáng tạo chính của phương pháp này, chắc chắn ý thức được sự cần thiết phải xét các vấn đề ấy; và nếu ông không làm sáng tỏ chúng đầy đủ, thì ít nhất ông cũng nhận thấy rằng chuỗi lũy thừa mà ông đưa vào hội tụ “thường” ít nhất cũng tốt như một chuỗi hình học (sự hội tụ của chuỗi này vốn đã được người xưa biết đến) đối với các giá trị nhỏ của biến [8]. Gần cùng thời gian đó, Leibniz đã nhận thấy rằng một chuỗi phản xứng mà các số hạng giảm theo giá trị tuyệt đối và tiến tới 0 thì hội tụ. Trong thế kỷ sau, d'Alembert năm 1768 nêu lên những nghi ngờ về việc sử dụng các chuỗi không hội tụ; nhưng uy tín của các Bernoulli và trên hết là Euler lớn đến mức những nghi ngờ thuộc loại này trở nên ngoại lệ trong thời kỳ ấy.

Rõ ràng là những nhà toán học vốn quen dùng chuỗi để tính toán số học hẳn không bao giờ lại sao nhãng đến thế khái niệm hội tụ; và không phải ngẫu nhiên mà người đầu tiên dẫn đầu sự trở lại với các phương pháp đúng đắn, trong lĩnh vực này cũng như trong nhiều lĩnh vực khác, lại là một nhà toán học từ thuở thiếu thời đã say mê tính toán số học. C.F. Gauss, người khi còn gần như là một đứa trẻ đã thực hành thuật toán trung bình số-hình học (*), khó có thể không hình thành một khái niệm rõ ràng về giới hạn; và trong một mảnh bản thảo đề năm 1800 (nhưng chỉ được xuất bản vào thời đại chúng ta) ([9], Vol. X¹, p. 390), ông đưa ra các định nghĩa chính xác về cận trên nhỏ nhất và cận dưới lớn nhất, cũng như các giới hạn trên và dưới của một dãy số thực; dường như ông đã coi sự tồn tại của các cận (đối với một dãy bị chặn) là hiển nhiên, và ông định nghĩa đúng các giới hạn trên và dưới lần lượt là các giới hạn, khi $n$ tiến tới $+\infty$, của $\sup_{p \geq 0} u_{n+p}$ và $\inf_{p \geq 0} u_{n+p}$.

Mặt khác, trong hồi ký năm 1812 về chuỗi siêu hình học ([9], vol. III, p. 139), Gauss đưa ra mẫu mực đầu tiên về một cuộc thảo luận về sự hội tụ được tiến hành, như ông nói, "hoàn toàn nghiêm ngặt, và nhằm thỏa mãn những người ưa chuộng các phương pháp nghiêm ngặt của các nhà hình học cổ đại". Đúng là cuộc thảo luận này, vốn chiếm một vị trí thứ yếu trong hồi ký, không trở về với các nguyên lý đầu tiên của lý thuyết chuỗi; Cauchy, trong Cours d'Analyse năm 1821 [10], là người đầu tiên thiết lập chúng một cách đúng đắn về mọi phương diện, bắt đầu từ tiêu chuẩn Cauchy (được phát biểu rõ ràng và được coi là hiển nhiên). Vì ông tiếp nhận quan điểm của Barrow và Newton về định nghĩa số, có thể nói rằng đối với Cauchy, các số thực được định nghĩa bởi các tiên đề về đại lượng và tiêu chuẩn Cauchy; và thực tế như vậy là đủ để định nghĩa chúng (xem Chương V, § 2).

(*) Nếu $x_0, y_0$ đã cho và $> 0$, đặt $x_{n+1} = (x_n + y_n)/2$ và

Khi đã đi đến điểm này, các nhà toán học chỉ còn nhiệm vụ làm chính xác và mở rộng các kết quả đã thu được, bằng cách sửa chữa những sai lầm khác nhau và lấp đầy những khoảng trống khác nhau. Chẳng hạn, có một thời Cauchy đã tin rằng một chuỗi hội tụ, mà các số hạng của nó là các hàm liên tục của một biến, có một hàm liên tục làm tổng. Sự hiệu đính của Abel về điểm này, trong quá trình công trình quan trọng của ông về chuỗi ([12], vol. 1, p. 219; cf. cũng vol. 2, p. 257 và passim), cuối cùng đã dẫn đến việc Weierstrass làm sáng tỏ khái niệm hội tụ đều (trong các bài giảng của ông, vốn không được xuất bản nhưng có ảnh hưởng đáng kể; xem Ghi chú lịch sử cho Chương X). Một lần nữa, Cauchy đã giả thiết, mà không có đủ biện minh, sự tồn tại của cực tiểu của một hàm liên tục trong một trong các chứng minh của ông về sự tồn tại của nghiệm của một đa thức; và một lần nữa Weierstrass là người làm sáng tỏ những câu hỏi thuộc loại này bằng cách chứng minh (trong các bài giảng của ông) Định lý 1 của § 6 đối với các hàm của các biến thực, được xác định trên các khoảng đóng bị chặn. Sau sự phê phán của ông đối với những áp dụng không có cơ sở của định lý này vào các tập hợp hàm ("nguyên lý Dirichlet" là ví dụ nổi tiếng nhất), đã bắt đầu một phong trào tư tưởng dẫn tới, như chúng ta đã thấy trong Ghi chú lịch sử cho Chương I, định nghĩa tổng quát về các không gian compact và phát biểu hiện đại của định lý như chúng tôi đã đưa ra.

Đồng thời, trong các bài giảng của mình, Weierstrass đã nhận thấy tầm quan trọng lôgic của việc làm cho ý niệm về số thực hoàn toàn độc lập với lý thuyết về các đại lượng; lý thuyết sau thực chất tương đương với một định nghĩa tiên đề về các điểm của đường thẳng (và do đó của tập hợp các số thực) và giả thiết về sự tồn tại của một tập hợp như vậy; mặc dù phương pháp này về bản chất là đúng đắn, rõ ràng tốt hơn là chỉ xuất phát từ các số hữu tỉ và xây dựng các số thực từ chúng bằng phép hoàn thiện (*). Điều này đã được thực hiện, bằng những phương pháp khác nhau và độc lập với nhau, bởi Weierstrass, Dedekind, M\'eray và Cantor; trong khi phương pháp "cắt", do Dedekind đề xuất [13], rất gần với các định nghĩa của Eudoxus, thì các phương pháp khác được đề xuất gần với phương pháp được trình bày trong bộ sách này. Đồng thời Cantor bắt đầu phát triển lý thuyết về các tập hợp số thực, ý tưởng này lần đầu tiên được Dedekind hình thành (xem Thư mục của Chương I), và do đó thu được những kết quả sơ cấp chính về tôpô của đường thẳng thực, cấu trúc của các tập hợp mở và đóng của nó, khái niệm tập hợp dẫn xuất và tập hợp hoàn hảo hoàn toàn không liên thông, v.v.; ông cũng thu được Định lý 1 của § 8 về lực lượng của continuum, và suy ra từ đó rằng continuum là không đếm được, rằng tập hợp các số siêu việt có lực lượng của continuum, và cũng (một kết quả nghịch lý vào thời đó) rằng tập hợp các điểm của một mặt phẳng (hay của không gian) có cùng lực lượng với tập hợp các điểm của một đường thẳng.

Với Cantor, những câu hỏi được nghiên cứu trong chương này về cơ bản đã đạt dạng cuối cùng. Chúng tôi dẫn đến Ghi chú lịch sử về Chương I để biết tác động ngay lập tức của công trình của Cantor; hãy chỉ ra ngắn gọn những hướng mà nó đã mở rộng. Ngoài việc dẫn đến những công trình về

Tôi không thể đưa toàn bộ bản dịch của đoạn văn này trong một phản hồi duy nhất vì độ dài của đoạn nguồn vượt quá giới hạn độ dài đầu ra hiện tại. Bạn có thể chia đoạn văn thành các phần nhỏ hơn; tôi sẽ dịch từng phần và giữ nguyên cấu trúc, ký hiệu toán học và định dạng theo các quy tắc đã nêu.

$f + g, fg, 1/f$ ($f, g$ các hàm có giá trị trong $\overline{\mathbf{R}}$) : IV, 5, 7.

[x] (x là một số thực) : IV, 8, 2.

Các số tham chiếu chỉ chương, tiết và tiểu tiết (hoặc bài tập) theo thứ tự đó.

Giá trị tuyệt đối của một số thực : IV, 1, 6. Không gian đóng tuyệt đối : I, 9, Bài tập 18. Tích vô hạn hội tụ tuyệt đối : IV, 7, 6. Chuỗi hội tụ tuyệt đối : IV, 7, 6. Không gian truy cập được : I, 8, Bài tập 1. Nhóm cộng của đường thẳng hữu tỉ : IV, 1, 2. Nhóm cộng của đường thẳng thực : IV, 1, 3. Tính đều cộng của một vành chia tôpô : III, 3, 8. Tính đều cộng của đường thẳng thực : IV, 1, 6. Phép compact hóa Alexandroff : I, 9, 8. Nửa đường thẳng Alexandroff : IV, 2, Bài tập 12. Định lý Alexandroff : I, 9, 8. Tôpô A-cực đại : I, 3, Bài tập 11. Phần bù đại số của một nhóm con : III, 6, 2. Chuỗi phản xứng : IV, 7, 6. Xấp xỉ đến trong $\varepsilon$ bằng sai khuyết (dư) : IV, 8, 1. Các nhóm con tùy ý nhỏ của một nhóm tôpô : III, 2, Bài tập 30. Tiên đề Archimedes : IV, 2, 1. Đồng cấu liên tục song ánh liên kết : III, 2, 8. Nhóm Hausdorff liên kết : III, 2, 6. Môđun Hausdorff liên kết : III, 6, 6. Vành Hausdorff liên kết : III, 6, 4. Công thức tính kết hợp : III, 5, 3. Tính kết hợp của tổng của một họ khả tổng : III, 5, 3. Tự đẳng cấu, địa phương : III, 1, 3. Tự đẳng cấu của một nhóm tôpô : III, 1, 3. Tiên đề Archimedes : IV, 2, 1. Tiên đề Borel-Lebesgue : I, 9, 1. Tiên đề Hausdorff : I, 8, 1.

Cơ sở của một lọc : I, 6, 3. Cơ sở (số) của một khai triển của một số thực : IV, 8, 5. Cơ sở của một tôpô : I, 1, 3. Dãy cơ sở của một khai triển của một số thực : IV, 8, 2. Ánh xạ song liên tục : I, 2, 1. Định lý Bolzano : IV, 6, 1. Tiên đề Borel-Lebesgue : I, 9, 1. Định lý Borel-Lebesgue : IV, 2, 2. Bị chặn trên, dưới (hàm) : IV, 5, 1. Bị chặn trên, dưới (tập hợp) : IV, 2, 3. Hàm bị chặn : IV, 5, 1. Tập con bị chặn (trái, phải) của một vành tôpô : III, 6, Bài tập 12. Tập hợp bị chặn (trong một không gian đều) : II, 4, Bài tập 7. Các cận, cận dưới lớn nhất và cận trên nhỏ nhất (của một hàm) : IV, 5, 9.

Ánh xạ chính tắc của đồ thị của quan hệ tương đương xác định bởi một nhóm tác động tự do : III, 4, 3. Định lý Cantor : IV, 8, 6. Tập tam phân Cantor : IV, 2, 5. Lọc Cauchy : II, 3, 1. Lọc Cauchy, cực tiểu : II, 3, 2. Dãy Cauchy : II, 3, 1. Tiêu chuẩn ngưng tụ Cauchy : IV, 7, Bài tập 3. Tiêu chuẩn Cauchy : II, 3, 3. Tiêu chuẩn Cauchy cho chuỗi : III, 5, 46. Tiêu chuẩn Cauchy cho các họ khả tổng : III, 5, 2. Chuỗi (V-) : II, 4, 4. Thay đổi thứ tự lấy tổng : III, 5, 3. Đóng (V-) : II, 1, 1. Phủ đóng : I, 1, 4. Quan hệ tương đương đóng : I, 5, 2. Ánh xạ đóng : I, 5, 1. Tập hợp đóng : I, 1, 4. Bao đóng của một tập hợp : I, 1, 6. Điểm tụ của một cơ sở lọc : I, 7, 2. Điểm tụ của một hàm tại một điểm tương đối với một tập con : I, 7, 5. Điểm tụ của một hàm đối với một tập có hướng : I, 7, 3. Điểm tụ của một hàm đối với một lọc : I, 7, 3. Điểm tụ của một hàm đối với một dãy : I, 7, 3. Điểm tụ của một mầm của một hàm : I, 7, 3. Lọc thô hơn : I, 6, 2. Tôpô thô hơn : I, 2, 2. Tính đều thô hơn : II, 2, 2. Tôpô thô nhất : I, 2, 2.

Chuỗi hội tụ giao hoán : III, 5, 7. Tập compact : I, 9, 3. Không gian compact : I, 9, 3. Phép compact hóa, Alexandroff hoặc một điểm : I, 9, 8. Các lọc so sánh được : I, 6, 2. Các tôpô so sánh được : I, 2, 2. Các tính đều so sánh được : II, 2, 2. Nguyên lý so sánh cho các chuỗi : IV, 7, 1. Tương thích (cấu trúc vành chia và tôpô) : III, 6, 7. Tương thích (quan hệ tương đương và nhóm toán tử) : III, 2, 4. Tương thích (cấu trúc nhóm và tôpô) : III, 1, 1. Tương thích (ánh xạ của các không gian có toán tử và đồng cấu của các nhóm toán tử) : III, 2, 4. Tương thích (cấu trúc nhóm có thứ tự và tôpô) : IV, 1, Bài tập 1. Tương thích (cấu trúc vành và tôpô) : III, 6, 3. Tương thích (cấu trúc nhóm có toán tử và tôpô) : III, 6, 1. Tương thích với một tôpô : II, 4, 1. Phần bù, đại số : III, 6, 2. Phần bù, tôpô : III, 6, 2. Nhóm đầy đủ : III, 3, 3. Vành đầy đủ : III, 6, 5. Không gian đều đầy đủ : II, 3, 3. Hoàn toàn Hausdorff (không gian, tôpô) : I, 9, Bài tập 20. Hoàn toàn bất khả quy giữa hai điểm : IV, 2, Bài tập 16. Phép hoàn thành của một vành chia tôpô Hausdorff, trường : III, 6, 8. Phép hoàn thành của một nhóm tôpô Hausdorff : III, 3, 4. Phép hoàn thành của một môđun tôpô Hausdorff : III, 6, 6. Phép hoàn thành của một vành tôpô Hausdorff : III, 6, 5. Phép hoàn thành của một không gian đều Hausdorff : II, 3, 7. Thành phần, đơn vị : III, 2, 2. Thành phần của một điểm : I, 11, 5. Thành phần của một tập con : I, 11, 5. Điểm ngưng tụ : I, 9, Bài tập 16. Tiêu chuẩn ngưng tụ, của Cauchy : IV, 7, Bài tập 3. Thành phần liên thông : I, 11, 5. Tập liên thông : I, 11, 1. Không gian liên thông : I, 11, 1. Các thành phần, nguyên tố : II, 4, Bài tập 19. Các khoảng kề nhau : IV, 2, 5. Mở rộng liên tục : I, 8, 5. Đồng cấu song ánh liên tục liên kết với một đồng cấu liên tục của các nhóm tôpô : III, 2, 8. Liên tục (ánh xạ, hàm) : I, 2, 1. Tiết diện liên tục : I, 3, 5.

Liên tục đối với một không gian con : I, 3, 2. Liên tục, nhóm tác động : III, 2, 4. Lực lượng của continuum : IV, 8, 6. Hội tụ, tuyệt đối : IV, 7, 6. Hội tụ, giao hoán : III, 5, 7. Lọc hội tụ : I, 7, 1. Cơ sở lọc hội tụ : I, 7, 1. Tích vô hạn hội tụ : III, 5, 7. Tích vô hạn hội tụ của các số thực : IV, 7, 6. Dãy hội tụ : I, 7, 3. Chuỗi hội tụ : III, 5, 6. Chuỗi hội tụ của các số thực : IV, 7, 6. Lọc đối : I, 6, Bài tập 17. Sự tương ứng thực sự : I, 10, Bài tập 10. Phủ, đóng : I, 1, 4. Phủ, mở : I, 1, 1. Tiêu chuẩn, của Cauchy : II, 3, 3; III, 5, 2 và III, 5, 6. Căn bậc ba : IV, 3, 3.

Khai triển thập phân của một số thực : IV, 8, 5. Tập hợp trù mật : I, 1, 6. Tổng trực tiếp tôpô : III, 6, 2. Hàm Dirichlet : IV, 6, 2. Vành chia rời rạc : III, 6, 7. Trường rời rạc : III, 6, 7. Nhóm rời rạc : III, 1, 1. Vành rời rạc : III, 6, 3. (Không gian tôpô, tôpô) rời rạc : I, 1, 1. (Không gian đều, cấu trúc đều) rời rạc : II, 1, 1. Vành chia tôpô : III, 6, 7. Khai triển nhị phân của một số thực : IV, 8, 5.

Lọc sơ cấp : I, 6, 8. Lọc sơ cấp liên kết với một dãy : I, 6, 8. Tập hợp sơ cấp : I, 4, 1. Các đầu mút của một không gian compact địa phương : I, 11, Ex. 19. Lân cận : II, 1, 1. Lân cận đối xứng : II, 1, 1. Hệ cơ sở của các lân cận : II, 1, 1. Bao dưới (trên) : IV, 5, 5. Quan hệ tương đương đóng : I, 5, 2. Quan hệ tương đương xác định bởi một nhóm các toán tử : III, 2, 4. Quan hệ tương đương Hausdorff : I, 8, 3. Quan hệ tương đương mở : I, 5, 2.

Khai triển, thập phân : IV, 8, 5. Khai triển, nhị phân : IV, 8, 5. Khai triển không đúng : IV, 8, 3. Khai triển của một số thực đối với một dãy cơ sở : IV, 8, 2. Khai triển hữu hạn : IV, 8, 3. Khai triển theo cơ sở $a$ : IV, 8, 5. Khai triển tam phân : IV, 8, 5. Đường thẳng thực mở rộng : IV, 4, 2. Mở rộng của một ánh xạ bởi tính liên tục : I, 8, 5. Nguyên lý mở rộng các đồng nhất thức : I, 8, 1. Nguyên lý mở rộng các bất đẳng thức : IV, 5, 2. Phần ngoài của một tập hợp : I, 1, 6. Điểm ngoài : I, 1, 6. Tích nửa trực tiếp ngoài : III, 2, 10. Tích nửa trực tiếp tôpô ngoài : III, 2, 10. Không gian phân cách cực trị : I, 11, Ex. 21.

Nhân tử tổng quát (của một tích vô hạn) : III, 5, 7. Họ hữu hạn địa phương : I, 1, 5. Họ nhân được : III, 5, 1. Họ tổng được : III, 5, 1. Trường, rời rạc : III, 6, 7. Trường số thực : IV, 3, 1. Trường $p$-adic : III, 6, Bài tập 23. Trường tôpô : III, 6, 7. Lọc : I, 6, 1. Cơ sở lọc : I, 6, 3. Lọc Cauchy : II, 3, 1. Lọc thô hơn một lọc khác : I, 6, 2. Lọc so sánh được với một lọc khác : I, 6, 2. Lọc hội tụ : I, 7, 1. Lọc, sơ cấp : I, 6, 8. Lọc, sơ cấp, liên kết với một dãy : I, 6, 8. Lọc mịn hơn một lọc khác : I, 6, 2. Lọc Fréchet : I, 6, 1. Lọc sinh bởi một tập hợp các tập con : I, 6, 2. Lọc cảm sinh : I, 6, 5. Giao của các lọc : I, 6, 2. Lọc Cauchy cực tiểu : II, 3, 2. Lọc lân cận : I, 6, 1. Lọc tiết diện : I, 6, 3. Lọc thực sự thô hơn một lọc khác : I, 6, 2. Lọc thực sự mịn hơn một lọc khác : I, 6, 2. Lọc cơ sở phụ : I, 6, 2.

Tập hợp có lọc : I, 6, 1. Tôpô cuối : I, 2, 4. Lọc mịn hơn : I, 6, 2. Tôpô mịn hơn : I, 2, 2. Cấu trúc đều mịn hơn : II, 2, 2. Cấu trúc đều của các phủ mở hữu hạn : II, 4, 1. Tổng riêng hữu hạn : III, 5, 1. Cấu trúc đều của các phân hoạch hữu hạn : II, 2, 2. Số thực hữu hạn : IV, 4, 2. Hàm giá trị thực hữu hạn : IV, 5, 1. Nhóm tác động tự do : III, 4, 3. Lọc Fréchet : I, 6, 1. Biên của một tập hợp : I, 1, 6. Điểm biên : I, 1, 6. Tập con đầy đủ : I, II, Ex. 14. Hàm liên tục : I, 2, 1. Hàm giá trị thực (hoặc thực) : IV, 5, 1. Hàm liên tục đều : II, 2, 1. Hệ cơ sở của các lân cận : II, 1, 1. Hệ cơ sở của các lân cận : I, 1, 3.

Vành Gelfand : III, 6, Bài tập 11. Nhân tử tổng quát của một tích vô hạn : III, 5, 7. Số hạng tổng quát của một chuỗi : VI, 5, 6. Cấp số nhân : IV, 7, 1. Mầm của một ánh xạ tại một điểm : I, 6, 10. Mầm của một ánh xạ đối với một lọc : I, 6, 9. Mầm của một tập con tại một điểm : I, 6, 10. Mầm của một tập con đối với một lọc : I, 6, 9. Cận dưới lớn nhất của một hàm giá trị thực : IV, 5, 4. Cận dưới lớn nhất của một tập hợp các tôpô : I, 2, 4. Cận dưới lớn nhất của một tập hợp các cấu trúc đều : II, 2, 5. Nhóm đầy đủ : III, 3, 3. Nhóm rời rạc : III, 1, 1. Nhóm Hausdorff liên kết với một nhóm tôpô : III, 2, 6. Nhóm tác động tự do trên một tập hợp : III, 4, 3. Nhóm tác động tầm thường trên một tập hợp : III, 2, 4. Nhóm paratôpô : III, 1, Bài tập 4. Nhóm tôpô tích : III, 2, 9. Nhóm giả tôpô : III, 2, Bài tập 5. Nhóm thương tôpô : III, 2, 6. Nhóm nửa tôpô : III, 1, Bài tập 2. Nhóm tôpô : III, 1, 1. Nhóm tôpô tác động liên tục trên một không gian tôpô : III, 2, 4.

Nhóm tôpô tác động đúng trên một không gian tôpô : III, 4, 1. Nhóm tôpô với các toán tử : III, 6, 1.

Nửa đường thẳng Alexandroff : IV, 2, Bài tập 12. Cơ sở Hamel : IV, 6, Bài tập 1. Phép hoàn thiện Hausdorff của một nhóm tôpô : III, 3, 4. Phép hoàn thiện Hausdorff của một môđun tôpô : III, 6, 6. Phép hoàn thiện Hausdorff của một vành tôpô : III, 6, 5. Phép hoàn thiện Hausdorff của một không gian đều : II, 3, 7. Quan hệ tương đương Hausdorff : I, 8, 3. Nhóm Hausdorff liên kết với một nhóm tôpô : III, 2, 6. Môđun Hausdorff liên kết với một môđun tôpô : III, 6, 6. Vành Hausdorff liên kết với một vành tôpô : III, 6, 4. Không gian Hausdorff : I, 8, 1. Tôpô Hausdorff : I, 8, 1. Không gian đều Hausdorff liên kết với một không gian đều : II, 3, 8. Cấu trúc đều Hausdorff : II, 1, 2. Tiên đề Hausdorff : I, 8, 1. Các không gian tôpô đồng phôi : I, 1, 1. Đồng phôi : I, 1, 1. Đồng phôi địa phương : I, 11, Ex. 25. Không gian thuần nhất : III, 2, 5.

Nhận dạng, không gian thu được bởi : I, 3, 4. Các đồng nhất thức, nguyên lý mở rộng của : I, 8, 1. Thành phần đơn vị của một nhóm tôpô : III, 2, 2. Ảnh ngược của một tôpô : I, 2, 3. Ảnh ngược của một cấu trúc đều : II, 2, 4. Khai triển không chính quy của một số thực : IV, 8, 3. Cảm sinh bởi một cấu trúc đều (tôpô) : II, 1, 2. Bộ lọc cảm sinh : I, 6, 5. Tôpô cảm sinh : I, 2, 3. Cấu trúc đều cảm sinh : II, 2, 4. Tích vô hạn, hội tụ tuyệt đối : IV, 7, 6. Tích vô hạn, hội tụ : III, 5, 7. Tích vô hạn xác định bởi dãy $(x_n)$ : III, 5, 7. Tích vô hạn của các số thực, hội tụ : IV, 7, 6. Tích vô hạn mà nhân tử tổng quát là $x_n$ : III, 5, 7. Tôpô ban đầu : I, 2, 3. Cấu trúc đều ban đầu : II, 2, 3. Tự đẳng cấu trong của một nhóm tôpô : III, 1, 3. Số nguyên, $p$-adic : III, 6, Bài tập 23. Phần nguyên của một số thực : IV, 8, 2. Phần trong của một tập hợp : I, 1, 6.

Điểm trong : I, 1, 6. Bộ lọc giao : I, 6, 2. Tôpô giao : I, 1, 6. Ảnh ngược của một tôpô : I, 2, 3. Ảnh ngược của một cấu trúc đều : II, 2, 4. Giới hạn ngược của một hệ ngược các nhóm (vành) : III, 7, 1. Giới hạn ngược của một hệ ngược các tập hợp được trang bị các luật nội tại (ngoài) : III, 7, 1. Giới hạn ngược của một hệ ngược các nhóm tôpô (môđun, vành) : III, 7, 2. Giới hạn ngược của các không gian tôpô : I, 4, 4. Giới hạn ngược của các tôpô : I, 4, 4. Giới hạn ngược của các không gian đều : II, 2, 7. Giới hạn ngược của các cấu trúc đều : II, 2, 7. Hệ ngược các nhóm (vành) : III, 7, 1. Hệ ngược các nhóm tôpô (vành) : III, 7, 2. Hệ ngược các không gian tôpô : I, 4, 4. Hệ ngược các tôpô : I, 4, 4. Hệ ngược các không gian đều : II, 2, 7. Hệ ngược các cấu trúc đều : II, 2, 7. Các số vô tỉ : IV, 1, 2. Bất khả quy giữa hai điểm : II, 4, Ex. 19. Không gian đẳng nhiệt : I, 2, Ex. 11. Điểm cô lập : I, 1, 6. Các không gian đều đẳng cấu : II, 1, 1. Đẳng cấu, địa phương : III, 1, 3. Đẳng cấu của một nhóm tôpô lên một nhóm tôpô : III, 1, 3. Đẳng cấu của một không gian đều lên một không gian khác : II, 1, 1.

Không gian Kolmogoroff : I, 1, Ex. 2.

Cận trên bé nhất của một hàm nhận giá trị thực : IV, 5, 4. Cận trên bé nhất của một tập hợp các tôpô : I, 2, 3. Cận trên bé nhất của một tập hợp các cấu trúc đều : II, 2, 5. Điểm kề trái : IV, 2, Bài tập 1. Bị chặn trái : III, 6, Bài tập 12. Nghịch đảo trái của một ánh xạ tuyến tính : III, 6, 2. Tôpô trái trên một tập hợp có thứ tự : I, 1, Ex. 2. Cấu trúc đều trái của một nhóm tôpô : III, 3, 1. Độ dài của một khoảng bị chặn : IV, 1, 5. Giới hạn, nghịch đảo : III, 7, 1 và 2. Giới hạn, dưới (trên) : IV, 5, 6. Giới hạn bên trái (phải) : IV, 5, 3.

Giới hạn (điểm) của một bộ lọc : I, 7, 1. Giới hạn (điểm) của một cơ sở bộ lọc : I, 7, 1. Giới hạn (điểm) của một hàm tại một điểm : I, 7, 5. Giới hạn (điểm) của một hàm đối với một tập con : I, 7, 5. Giới hạn (điểm) của một hàm đối với một tập có hướng : I, 7, 3. Giới hạn (điểm) của một hàm đối với một bộ lọc : I, 7, 3. Giới hạn (điểm) của một mầm của một hàm : I, 7, 3. Giới hạn (điểm) của một dãy : I, 7, 3. Không gian Lindelöf : I, 9, Ex. 14. Đường thẳng, thực mở rộng : IV, 4, 2. Đường thẳng, hữu tỉ : I, 1, 2; IV, 1, 2. Đường thẳng, thực : IV, 1, 3. Tự đẳng cấu địa phương của một nhóm tôpô : III, 1, 3. Tích trực tiếp địa phương của các nhóm tôpô : III, 2, Bài tập 26. Đồng phôi địa phương : I, 11, Ex. 25. Đẳng cấu địa phương của một nhóm tôpô với một nhóm khác : III, 1, 3. Tích địa phương của một họ các nhóm tôpô, đối với một họ các nhóm con chuẩn mở : III, 2, Bài tập 26. Vành tôpô bị chặn địa phương : III, 6, Bài tập 12. Không gian con đóng địa phương : I, 3, 2. Không gian compact địa phương : I, 9, 7. Không gian liên thông địa phương : I, 11, 6. Họ hữu hạn địa phương : I, 1, 5. Các nhóm tôpô đẳng cấu địa phương : III, 1, 3. Nhóm tôpô Hausdorff tiền compact địa phương : III, 3, Bài tập 8. Không gian quasi-compact địa phương : I, 9, Ex. 29. Tôpô retrobounded địa phương : III, 6, Bài tập 22. Bao dưới của một họ các hàm nhận giá trị thực : IV, 5, 5. Giới hạn dưới của một hàm nhận giá trị thực đối với một bộ lọc : IV, 5, 6. Hàm nhận giá trị thực nửa liên tục dưới : IV, 6, 2. Chính quy hóa nửa liên tục dưới của một hàm nhận giá trị thực : IV, 6, 2.

Ánh xạ, liên tục hai phía : I, 2, 1. Ánh xạ, đóng : I, 5, 1. Ánh xạ, liên tục : I, 2, 1. Ánh xạ, mở : I, 5, 1. Ánh xạ, thực sự : I, 10, 1. Ánh xạ, liên tục đều : II, 2, 1. Cực đại, tương đối : IV, 6, 2. Cực đại, tương đối ngặt : IV, 5, Bài tập 10. Bộ lọc Cauchy cực tiểu : II, 3, 2. Không gian Hausdorff cực tiểu : I, 9, Ex. 19. Cực tiểu, tương đối : IV, 6, 2. Định lý Mittag-Leffler : II, 3, 5.

Môđun, tôpô : III, 6, 6. Cấu xạ của các không gian có toán tử : III, 2, 4. Cấu xạ của các nhóm tôpô : III, 2, 8. Cấu xạ, ngặt : III, 2, 8. Định lý về giới hạn đơn điệu : IV, 5, 2. Họ khả tích của các phần tử của một nhóm nhân : III, 5, 1. Các cấu trúc đều nhân của một vành chia tôpô : III, 6, 8.

Bộ lọc lân cận : I, 6, 1. Lân cận của một điểm : I, 1, 2. Lân cận của một tập hợp : I, 1, 2. Lân cận, đối xứng : III, 1, 2. Lân cận (V-) : II, 1, 2. Hệ cơ bản các lân cận : I, 1, 3. Lũy linh, tôpô : III, 6, Bài tập 9. Nghiệm bậc $n$ : IV, 3, 3. Số, thực hữu hạn : IV, 5, 2. Số, vô tỉ : IV, 1, 3. Số, $p$-adic : III, 6, Bài tập 23. Số, thực : IV, 1, 3 và (do lạm dụng ngôn ngữ) IV, 4, 2.

Compact hóa một điểm : I, 9, 8. Phủ mở : I, 1, 1. Quan hệ tương đương mở : I, 5, 2. Ánh xạ mở : I, 5, 1. Tập mở : I, 1, 1. Đối của một nhóm tôpô : III, 1, 1. Không gian quỹ đạo của một không gian có toán tử theo nhóm các toán tử của nó : III, 2, 4. Dao động của một hàm nhận giá trị thực : IV, 6, Bài tập 6.

Điểm, kỳ dị : II, 4, Ex. 19. Nhỏ (V-) : II, 3, 1. Solenoid, $p$-adic : III, 7, Bài tập 6. Không gian giải được : I, 2, Ex. 11. Không gian, đóng tuyệt đối : I, 9, Ex. 18. Không gian, khả tiếp cận : I, 8, Ex. 1. Không gian, compact : I, 9, 1.