Bài tập 21, § 5

a) Cho $(f_n)$ là một dãy ánh xạ liên tục của một không gian tôpô $X$ vào một không gian hoàn toàn chuẩn $Y$ (§ 4, Bài tập 8) sao cho, với mỗi $x \in X$, dãy $(f_n(x))$ có một giới hạn $f(x)$ trong $Y$. Chứng minh rằng, với mọi tập con đóng $S$ của $Y$, $A = \bar{f}^{-1}(S)$ là một giao đếm được của các tập hợp mở. [Tồn tại một dãy giảm $(U_n)$ gồm các tập hợp mở trong $Y$ sao cho $S = \bigcap_n \overline{U_n}$; chú ý rằng $f(x) \in S$ khi và chỉ khi, với mỗi số nguyên $n > 0$, tồn tại một số nguyên $k \geq 0$ sao cho $f_{n+k}(x) \in U_n$.] Suy ra rằng $\overline{A} - A$ là thưa trong $X$.

b) Suy ra từ a) rằng nếu ta giả sử thêm rằng $Y$ là một không gian mêtric hóa được kiểu đếm được, thì tập hợp tất cả các $x \in X$ sao cho $f$ không liên tục tại $x$ là thưa. [Nếu $(V_n)$ là một cơ sở của tôpô của $Y$ và nếu $S_n = Y - V_n$ và $A_n = \bar{f}^{-1}(S_n)$, chứng minh rằng $x$ phải thuộc một trong các tập hợp $\overline{A}_n - A_n$.]