Bài tập 23, § 5

Cho $X$ là một không gian tôpô, và cho $Y, Z$ là hai không gian mêtric, với các mêtric $d, d'$ tương ứng. Cho $f : X \times Y \to Z$ là một ánh xạ sao cho $y \to f(x_0, y)$ là liên tục trên $Y$ với mỗi $x_0 \in X$ và sao cho $x \to f(x, y_0)$ là liên tục trên $X$ với mỗi $y_0 \in Y$.

a) Với mỗi số thực $\varepsilon > 0$, mỗi $b \in Y$ và mỗi $x \in X$, gọi $g(x; b, \varepsilon)$ là cận trên nhỏ nhất của các số $\alpha > 0$ sao cho quan hệ $d(b,\ y) < \alpha$ kéo theo $d'(f(x,\ b),\ f(x,\ y)) \leq \varepsilon$. Chứng minh rằng hàm $x \to g(x;\ b,\ \varepsilon)$ là nửa liên tục trên.

b) Nếu $X$ là một không gian Baire, suy ra từ a) và Định lý 2 rằng với mỗi $b \in Y$ tồn tại một tập hợp $S_b$ trong $X$, có phần bù là thưa, sao cho $f$ liên tục tại $(a,\ b)$ với mỗi $a \in S_b$.