Ghi chú lịch sử

(Các số trong ngoặc vuông dẫn đến thư mục tài liệu tham khảo ở cuối ghi chú này.)

Chúng tôi sẽ không nhắc lại ở đây toàn bộ lịch sử phát triển của các lý thuyết về số phức và quaternion, vì về cơ bản các lý thuyết này thuộc về đại số; nhưng chúng tôi sẽ nói đôi điều về biểu diễn hình học của các số phức, một bước tiến có tính quyết định trong lịch sử toán học trên nhiều phương diện.

Không còn nghi ngờ gì nữa, người đầu tiên có một quan niệm rõ ràng về sự tương ứng một-một giữa các số phức và các điểm trong mặt phẳng là C. F. Gauss (), người hơn nữa đã áp dụng ý tưởng này vào lý thuyết số phức và thấy trước những công dụng mà các nhà giải tích thế kỷ 19 sẽ dành cho nó. Trong suốt thế kỷ 17 và 18, các nhà toán học dần đi đến niềm tin rằng các số ảo, vốn cho phép họ giải mọi phương trình bậc hai, cũng có thể được dùng để giải các phương trình đại số thuộc bất kỳ bậc nào. Nhiều nỗ lực chứng minh định lý này đã được công bố trong thế kỷ 18; nhưng, không kể những nỗ lực chỉ dựa trên một vòng luẩn quẩn, không có nỗ lực nào không phải chịu những phản bác nghiêm trọng. Sau khi xem xét chi tiết các nỗ lực này và lập luận chặt chẽ phê phán những thiếu sót của chúng, Gauss đã đề xuất trong luận án khai giảng của mình (viết năm 1797, xuất bản năm 1799) rằng cuối cùng đưa ra một chứng minh chặt chẽ. Tiếp thu một ý tưởng được d'Alembert nêu ra khi chuyển qua [trong chứng minh được công bố năm 1746 (*)],

(*) Người đầu tiên nghĩ ra ý tưởng về một sự tương ứng như vậy chắc chắn là Wallis, trong Treatise on Algebra xuất bản năm 1685; nhưng những ý tưởng của ông về chủ đề này còn lẫn lộn và không có ảnh hưởng đến những người cùng thời.

(**) Chứng minh này (trong đó trên thực tế d'Alembert không sử dụng nhận xét đã làm điểm xuất phát cho Gauss) về mặt lịch sử là chứng minh đầu tiên không rút gọn thành việc hiển nhiên giả định điều cần chứng minh. Gauss, người đã chính đáng phê phán những thiếu sót của nó, tuy nhiên vẫn nhận ra giá trị của ý tưởng cơ bản của d'Alembert: "bản chất của chứng minh

Gauss nhận xét rằng các điểm $(a, b)$ của mặt phẳng sao cho $a + ib$ là một nghiệm của đa thức $P(x + iy) = X(x, y) + iY(x, y)$ chính là các giao điểm của các đường cong $X = 0$ và $Y = 0$; bằng một nghiên cứu định tính các đường cong này, ông sau đó chỉ ra rằng một cung liên tục của một trong chúng nối các điểm thuộc hai miền phân biệt được giới hạn bởi đường kia, và từ đó kết luận rằng các đường cong cắt nhau ([I], vol. 3, p. 3; xem thêm [I a]). Về tính sáng sủa và tính độc đáo, chứng minh này là một bước tiến đáng kể so với những nỗ lực trước đó, và chắc chắn là một trong những ví dụ đầu tiên về lập luận thuần túy tôpô được áp dụng vào một bài toán đại số (*).

Trong luận án của mình, Gauss không tường minh định nghĩa sự tương ứng giữa các điểm của mặt phẳng và các số phức; còn đối với các số phức và những vấn đề về "sự tồn tại" mà chúng đã làm nảy sinh trong hai trăm năm, ông giữ nguyên lập trường của mình và cố ý trình bày tất cả các lập luận dưới một dạng chỉ liên quan đến các đại lượng thực. Nhưng diễn tiến của các ý tưởng trong chứng minh của ông sẽ hoàn toàn không thể hiểu được nếu nó không giả định một sự đồng nhất hoàn toàn có ý thức giữa các điểm của mặt phẳng với các số phức; và những nghiên cứu của ông trong cùng thời kỳ về lý thuyết số và các hàm elliptic, cũng liên quan đến các số phức, càng củng cố giả định này. Cách thức mà quan niệm hình học về các số ảo trở nên quen thuộc với ông, cũng như những kết quả mà nó có thể đem lại dưới tay ông, được thể hiện rõ ràng qua các ghi chú (chỉ mới được công bố gần đây), trong đó ông áp dụng các số phức vào việc giải các bài toán hình học sơ cấp ([I], vol. 4, p. 396 và vol. 8, p. 307). Còn tường minh hơn nữa là bức thư gửi Bessel năm 1811 ([I], vol. 8, p. 90-91), trong đó ông phác thảo những nét cốt yếu của lý thuyết tích phân các hàm của một biến phức: "Cũng như toàn bộ miền các đại lượng thực có thể được biểu diễn bằng một đường thẳng vô hạn, toàn bộ miền đầy đủ của mọi đại lượng, cả thực lẫn ảo, cũng có thể được thể hiện bằng một mặt phẳng vô hạn, trong đó mỗi điểm, được xác định bởi hoành độ $a$ và tung độ $b$, đồng thời biểu diễn đại lượng $a + ib$. Sự chuyển qua liên tục từ một giá trị của $x$ sang một giá trị khác do đó diễn ra dọc theo một đường cong, và vì thế có thể được thực hiện theo vô hạn cách..."".

Nhưng mãi đến năm 1831, Gauss (nhân việc đưa vào các "số nguyên Gauss" $a + ib$, trong đó $a$ và $b$ là các số nguyên) mới công khai trình bày những ý tưởng của mình về điểm này một cách chính xác như vậy ([I], vol. 2, Theoria Residuo-

dường như không bị ảnh hưởng bởi tất cả những phản bác này" ([I], vol. 3, p. 11); ít lâu sau, ông phác thảo một phương pháp có thể làm cho lập luận của d'Alembert trở nên chặt chẽ, và đây thực chất là đường lối lập luận được Cauchy sử dụng trong một trong những chứng minh của ông về cùng định lý (xem § 2, Bài tập 2).

(*) Tổng cộng Gauss đã công bố bốn chứng minh về "Định lý d'Alembert-Gauss"; trong số đó, chứng minh cuối cùng là một biến thể của chứng minh đầu tiên và, cũng như nó, dựa vào các tính chất tôpô trực giác của mặt phẳng; nhưng chứng minh thứ hai và thứ ba dựa trên những nguyên lý hoàn toàn khác nhau. Chứng minh mà chúng tôi đã đưa ra trong § 1 về cơ bản là chứng minh thứ hai của Gauss, bản thân nó là sự hiện thực hóa một ý tưởng của Euler và de Foncenex.

rum Biquadraticorum, Commentatis Secunda, art. 38, p. 109, và Anzeige, p. 174 et seq.). Trong những năm xen giữa đó, ý tưởng biểu diễn các số phức bằng hình học đã được hai nhà nghiệp dư khiêm tốn, cả hai ít nhiều đều tự học, độc lập khám phá lại; họ không có đóng góp nào khác cho toán học, và cả hai đều ít có tiếp xúc với các giới khoa học đương thời. Vì lý do này, công trình của họ có nguy cơ hoàn toàn không được chú ý đến; chính xác đó là điều đã xảy ra với người có niên đại sớm hơn, tác giả của một tập sách nhỏ là một người Đan Mạch, C. Wessel. Được xuất bản năm 1798, tập sách này được hình thành và viết một cách rõ ràng, nhưng mãi một thế kỷ sau mới được cứu khỏi sự lãng quên. Tai họa tương tự có thể đã xảy đến với người thứ hai, nhà toán học Thụy Sĩ J. Argand, người chỉ nhờ may mắn mà thấy công trình của mình, xuất bản năm 1806, được khai quật lại bảy năm sau (). Công trình này đã gây ra một cuộc thảo luận sôi nổi trong Annales de Gergonne, và là đề tài của nhiều công trình do những tác giả ít tên tuổi xuất bản tại Pháp và Anh trong khoảng từ 1820 đến 1830. Nhưng cần có uy tín của một tên tuổi lớn để chấm dứt những tranh luận này và tập hợp các nhà toán học theo quan điểm mới, và mãi đến giữa thế kỷ đó, biểu diễn hình học của các số phức mới cuối cùng được chấp nhận rộng rãi, sau các công trình của Gauss (đã được nhắc đến ở trên) tại Đức, công trình của Hamilton và Cayley về các hệ siêu phức tại Anh, và cuối cùng là sự ủng hộ của Cauchy (*) tại Pháp, chỉ vài năm trước khi thiên tài Riemann mở rộng hơn nữa vai trò của hình học trong lý thuyết các hàm giải tích, đồng thời tạo ra khoa học tôpô.

\* \*

Việc đo góc bằng các cung mà chúng chắn trên một đường tròn cũng cổ xưa như khái niệm góc, và đã được người Babylon biết đến: đơn vị đo góc của họ là độ, mà chúng ta vẫn còn sử dụng. Người Babylon chỉ dùng các số đo góc nằm giữa 0 và $360^\circ$; điều này

(*) Khác với Gauss, Wessel và Argand quan tâm nhiều hơn đến việc biện minh cho các phép toán với số phức hơn là áp dụng biểu diễn hình học mà họ đề xuất vào những nghiên cứu mới; Wessel không đưa ra ứng dụng nào, còn ứng dụng duy nhất do Argand đưa ra là một chứng minh định lý d'Alembert-Gauss, hầu như không hơn một biến thể của chứng minh của d'Alembert, và mắc cùng những phản đối như chứng minh đó.

(**) Trong những nghiên cứu đầu tiên của ông về các tích phân của các hàm biến phức (giữa 1814 và 1826), Cauchy coi các số phức là những biểu thức "ký hiệu" và không đồng nhất chúng với các điểm của mặt phẳng; nhưng điều này không ngăn cản ông liên tục gắn số $x + iy$ với điểm $(x, y)$, và tự do sử dụng ngôn ngữ của hình học trong ngữ cảnh này.

đủ cho các mục đích của họ, chủ yếu là xác định vị trí của các thiên thể tại những điểm xác định trên quỹ đạo biểu kiến của chúng và xây dựng các bảng về những quỹ đạo này nhằm phục vụ các mục đích khoa học hoặc chiêm tinh học.

Trong số các nhà hình học Hy Lạp thời kỳ cổ điển, khái niệm góc (Euclid’s Elements, I, Definitions 8 và 9) còn hạn chế hơn nữa, vì nó chỉ áp dụng cho những góc nhỏ hơn hai góc vuông; và mặt khác, vì lý thuyết về tỷ lệ và đo lường của họ dựa trên việc so sánh các bội số lớn tùy ý của các đại lượng được đo, nên đối với họ các góc không thể là những đại lượng đo được, mặc dù dĩ nhiên họ có các khái niệm về các góc bằng nhau, về một góc lớn hơn hoặc nhỏ hơn một góc khác, và về tổng của hai góc, với điều kiện tổng đó không vượt quá hai góc vuông. Cũng như đối với phép cộng các phân thức, việc đo góc hẳn đã được họ xem là một thủ tục thực nghiệm, không có giá trị khoa học. Thái độ này được minh họa rõ nét qua khảo luận đáng ngưỡng mộ của Archimedes về các đường xoắn ([3], vol. 2, pp. 1-121), trong đó, vì không thể định nghĩa chúng bằng tính tỷ lệ giữa bán kính vectơ và góc, ông đưa ra một định nghĩa động học (Định nghĩa 1, p. 44; cf. phát biểu của Mệnh đề 12, p. 46), từ đó ông đã thành công trong việc rút ra, như phần còn lại của công trình cho thấy, mọi điều mà khái niệm tổng quát về số đo góc có thể đem lại cho ông nếu ông đã có được khái niệm đó. Còn về các nhà thiên văn Hy Lạp, dường như họ bằng lòng noi theo những người tiền nhiệm Babylon về điểm này cũng như về nhiều điểm khác.

Ở đây cũng vậy, như trong sự tiến hóa của khái niệm số thực (xem Ghi chú lịch sử về Chương IV), sự nới lỏng tinh thần nghiêm ngặt trong thời kỳ suy tàn của khoa học Hy Lạp đã đưa đến sự trở lại quan điểm “ngây thơ”, mà về một số phương diện gần với quan điểm của chúng ta hơn là quan niệm Euclid cứng nhắc. Do đó, một người nội suy thiếu thận trọng đã chèn mệnh đề nổi tiếng sau đây vào Euclid (Euclid’s Elements, VI, 33): “Các góc tỷ lệ với các cung mà chúng chắn trên một đường tròn” (), và một học giả vô danh bình luận về “chứng minh” của mệnh đề này không ngần ngại đưa vào, dĩ nhiên không có biện minh, những cung bằng các bội số lớn tùy ý của một chu vi, và các góc tương ứng với những cung đó (*). Nhưng ngay cả Vietà, vào thế kỷ 16, mặc dù dường như ông đã tiến gần đến quan niệm hiện đại của chúng ta về góc

(*) Việc đây thực sự là một phần nội suy được chứng minh không chút nghi ngờ bởi tính phi lý của chứng minh, vốn vụng về dựa trên những mẫu mực cổ điển của phương pháp Eudoxus; hơn nữa, rõ ràng là kết quả này không liên quan gì đến phần cuối của Quyển VI. Thật thú vị khi thấy Theon, vào thế kỷ 4 sau Công nguyên, tự hào về việc đã ghép thêm vào phần nội suy này một phần nội suy khác, trong đó ông tuyên bố chứng minh rằng “diện tích của các hình quạt của một đường tròn tỷ lệ với các góc của chúng tại tâm” (Euclid’s Elements, edited by Heiberg, vol. 5, p. XXIV). Điều này xảy ra sáu thế kỷ sau khi Archimedes đã xác định diện tích của các hình quạt của đường xoắn.

(**) Euclid’s Elements, ed. Heiberg, vol. 5, p. 357.

khi ông phát hiện rằng phương trình $\sin nx = \sin \alpha$ có nhiều nghiệm, chỉ thu được những nghiệm tương ứng với các góc nhỏ hơn hai góc vuông ([4], p. 305). Chỉ đến thế kỷ 17, quan điểm này mới bị thay thế một cách dứt khoát; và, sau khi việc Newton phát hiện các khai triển chuỗi lũy thừa của $\sin x$ và $\cos x$ đã cung cấp những biểu thức của các hàm này đúng với mọi giá trị của biến, cuối cùng Euler đã phát biểu chính xác khái niệm về phép đo góc, gắn với các lôgarit của các số "ảo" ([5], (1), vol. 17, p. 220).

Dĩ nhiên, định nghĩa cổ điển về phép đo góc theo độ dài của một cung tròn không chỉ trực giác mà về cơ bản còn đúng; tuy nhiên, để làm cho nó chặt chẽ, cần đến khái niệm độ dài của một đường cong, tức là phép tính nguyên. Xét từ quan điểm của các cấu trúc tham gia vào đây, đây là một thủ tục rất dài dòng, và như chúng ta đã thấy trong phần văn bản, có thể đi đến cùng một kết quả mà không dùng phương tiện nào khác ngoài lý thuyết các nhóm tôpô; theo cách này, hàm mũ thực và hàm mũ phức xuất hiện như bắt nguồn từ cùng một nguồn, tức là định lý đặc trưng các "nhóm một tham số" (chương V, § 3, Định lý 1).

[1] C. F. Gauss, Werke, vol. 2 (2nd edition, Göttingen, 1876); vol. 3 (2nd edition, ibid., 1876); vol. 4 (ibid., 1873) và vol. 8 (ibid., 1900).

[1 a] Die vier Gauss’schen Beweise für die Zerlegung ganzer algebraischer Funktionen in reelle Factoren ersten oder zweiten Grades [Ostwald’s Klassiker, no. 14, Leipzig (Teubner), 1904].

[2] Euclidis Elementa, 5 vols., do J. L. Heiberg biên tập, Leipzig (Teubner) 1883-1888.

[3] Archimedis Opera Omnia, 3 vols., vol. 2, pp. 1-121, do J. L. Heiberg biên tập, ấn bản thứ 2, Leipzig (Teubner) 1913-15.

[3 a] Les Œuvres complètes d’Archimède, do P. Ver Eecke dịch, Paris-Brussels (Desclée de Brouwer), 1921.

[4] Francisci Vietae, Opera Mathematica, p. 305, Leyden (Bonaventure et Abraham Elzevir), 1646.

[5] L. Euler, Opera omnia (1), vol. 17, p. 220, Leipzig (Teubner), 1915.