Bài tập 18, § 3

Cho A là một đại số Banach giao hoán có đơn vị và $x$ là một phần tử của A. Giả sử đại số con đầy đủ đóng của A do $x$ sinh bằng A, sao cho ánh xạ $\chi \mapsto \chi (x)$ cho phép đồng nhất $\mathsf{X}(A)$ và Sp$_A(x)$. Gọi $\mathscr{H}$ là tập hợp các hàm $\mathscr{G}y$ trên Sp$_A(x)$, khi $y$ chạy qua A. Khi đó $\check{S}_{\mathscr{H}}$ (Sp$_A(x)$) là biên của Sp$_A(x)$ đối với $\mathbf{C}$. (Để bây giờ chứng minh rằng $\check{S}_{\mathscr{H}}$ (Sp$_A(x)$) được chứa trong biên này, dùng nguyên lý cực đại. Ngược lại, gọi $z_0$ là một điểm của biên này; để bây giờ chứng minh rằng $z_0\in \check{S}_{\mathscr{H}}$ (Sp$_A(x)$), hãy xét $(x-z_1)^{-1}$ với $z_1$ đủ gần $z_0$ trong $\mathbf{C}-$ Sp$_A(x)$.)