Bài tập 23, § 3

Cho Ω là tập hợp các $(z_1, z_2)\in \mathbf{C}^2$ sao cho $|z_1|\leqslant 1,|z_2|\leqslant 1$. Cho $\alpha \in [0,1]$ và $\Omega_{\alpha}$ là tập hợp các $(z_1, z_2)\in \mathbf{C}^2$ sao cho

(a) Các phần bù của Ω và của $\Omega_{\alpha}$ trong $\mathbf{C}^2$ là liên thông.

(b) Ω là bao lồi đa thức của $\Omega_{\alpha}$. (Nếu $(z_1^0, z_2^0)\in \Omega$ và nếu $P\in \mathbf{C}[z_1, z_2]$, tồn tại $z\in \mathbf{C}$ sao cho $|z|= 1$ và $|P(z_1^0, z_2^0)|\leqslant |P(z, z_2^0)|$; khi đó $|P(z, z_2^0)|\leqslant$ sup$_{(z_1,z_2)\in\Omega_{\alpha}}|P(z_1, z_2)|.$)