Bài tập 29, § 3

*Cho X là một đa tạp thực compắc. Ta trang bị cho $\mathscr{C}^{\infty}(X)$ tôpô hội tụ đều của các hàm và của mọi đạo hàm của chúng; đó là một không gian Fréchet. Cho A là một đại số con của $\mathscr{C}(X)$. Giả sử rằng A được trang bị một chuẩn $f\mapsto \|f\|_A$ khiến nó trở thành một đại số Banach, sao cho đơn ánh chính tắc từ A vào $\mathscr{C}(X)$ là liên tục. Hơn nữa giả sử rằng $\mathscr{C}^{\infty}(X)$ được chứa và trù mật trong A.

a) Tồn tại một hằng $C\geqslant 0$ và một số nguyên $k\in \mathbf{N}$ sao cho với mọi $f\in \mathscr{C}^{\infty}(X)$, ta có

$\|f\|_A\leqslant C$ sup$_{x\in X}|f^{(k)}(x)|$.

b) Đại số con A là đầy trong $\mathscr{C}(X)$. (Cho $f\in A$ không triệt tiêu trên X và $\delta =$ inf$_{x\in X}|f(x)|$; chọn $g\in \mathscr{C}^{\infty}(X)$ sao cho $\|f-g\|_A< \delta /3$, rồi chú ý rằng $f^{-1}=g^{-1}\sum_{n\in\mathbf{N}}((g-f)/g)^n$ trong $\mathscr{C}(X)$, và kiểm tra rằng chuỗi hội tụ trong A.)

c) Suy ra một chứng minh mới của định lý Wiener (I, p. 38, ví dụ).*